Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58708 / 88168
↖ ↑ ↗
← S 52.656394°
W 18.753662°		 ← 185.27 m → S 52.656394°
W 18.750915°		 →
↑
185.20 m
↓
↑
185.20 m
↓
S 52.658060°
W 18.753662°		 ← 185.26 m →
34 312 m²		 S 52.658060°
W 18.750915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447910308837891 y=0.672672271728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447910308837891 × 217)
    floor (0.447910308837891 × 131072)
    floor (58708.5)     		tx = 58708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672672271728516 × 217)
    floor (0.672672271728516 × 131072)
    floor (88168.5)     		ty = 88168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58708 / 88168 ti = "17/58708/88168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58708/88168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58708 ÷ 217
    58708 ÷ 131072     		x = 0.447906494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88168 ÷ 217
    88168 ÷ 131072     		y = 0.67266845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447906494140625 × 2 - 1) × π
    -0.10418701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32731315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67266845703125 × 2 - 1) × π
    -0.3453369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.08490791220111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32731315} λ = -0.32731315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08490791220111))-π/2
    2×atan(0.337932903959192)-π/2
    2×0.32588444014941-π/2
    0.651768880298819-1.57079632675     		φ = -0.91902745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32731315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.753662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91902745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.656394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58708 KachelY 88168 -0.32731315 -0.91902745 -18.753662 -52.656394
    Oben rechts KachelX + 1 58709 KachelY 88168 -0.32726521 -0.91902745 -18.750915 -52.656394
    Unten links KachelX 58708 KachelY + 1 88169 -0.32731315 -0.91905652 -18.753662 -52.658060
    Unten rechts KachelX + 1 58709 KachelY + 1 88169 -0.32726521 -0.91905652 -18.750915 -52.658060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91902745--0.91905652) × R
    2.90700000000754e-05 × 6371000     		dl = 185.204970000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91902745--0.91905652) × R
    2.90700000000754e-05 × 6371000     		dr = 185.204970000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32731315--0.32726521) × cos(-0.91902745) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.606593632368516 × 6371000     		do = 185.269309045535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32731315--0.32726521) × cos(-0.91905652) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.606570521111819 × 6371000     		du = 185.262250272856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91902745)-sin(-0.91905652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606593632368516-0.606570521111819)×R²
    abs(-0.32726521--0.32731315)×2.31112566968505e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31112566968505e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31112566968505e-05×40589641000000     		ar = 34312.1431663757m²