Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58706 / 88457
↖ ↑ ↗
← S 53.135238°
W 18.759155°		 ← 183.20 m → S 53.135238°
W 18.756409°		 →
↑
183.17 m
↓
↑
183.17 m
↓
S 53.136885°
W 18.759155°		 ← 183.19 m →
33 555 m²		 S 53.136885°
W 18.756409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447895050048828 y=0.674877166748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447895050048828 × 217)
    floor (0.447895050048828 × 131072)
    floor (58706.5)     		tx = 58706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674877166748047 × 217)
    floor (0.674877166748047 × 131072)
    floor (88457.5)     		ty = 88457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58706 / 88457 ti = "17/58706/88457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58706/88457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58706 ÷ 217
    58706 ÷ 131072     		x = 0.447891235351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88457 ÷ 217
    88457 ÷ 131072     		y = 0.674873352050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447891235351562 × 2 - 1) × π
    -0.104217529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32740902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674873352050781 × 2 - 1) × π
    -0.349746704101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.09876167619131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32740902} λ = -0.32740902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09876167619131))-π/2
    2×atan(0.333283541211521)-π/2
    2×0.321705740817632-π/2
    0.643411481635264-1.57079632675     		φ = -0.92738485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32740902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.759155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92738485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.135238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58706 KachelY 88457 -0.32740902 -0.92738485 -18.759155 -53.135238
    Oben rechts KachelX + 1 58707 KachelY 88457 -0.32736109 -0.92738485 -18.756409 -53.135238
    Unten links KachelX 58706 KachelY + 1 88458 -0.32740902 -0.92741360 -18.759155 -53.136885
    Unten rechts KachelX + 1 58707 KachelY + 1 88458 -0.32736109 -0.92741360 -18.756409 -53.136885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92738485--0.92741360) × R
    2.87499999999108e-05 × 6371000     		dl = 183.166249999432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92738485--0.92741360) × R
    2.87499999999108e-05 × 6371000     		dr = 183.166249999432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32740902--0.32736109) × cos(-0.92738485) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.599928291991217 × 6371000     		do = 183.195321096771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32740902--0.32736109) × cos(-0.92741360) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.599905290197222 × 6371000     		du = 183.188297222263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92738485)-sin(-0.92741360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599928291991217-0.599905290197222)×R²
    abs(-0.32736109--0.32740902)×2.3001793995503e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3001793995503e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3001793995503e-05×40589641000000     		ar = 33554.5567167429m²