Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58706 / 87050
↖ ↑ ↗
← S 50.753834°
W 18.759155°		 ← 193.19 m → S 50.753834°
W 18.756409°		 →
↑
193.23 m
↓
↑
193.23 m
↓
S 50.755572°
W 18.759155°		 ← 193.18 m →
37 330 m²		 S 50.755572°
W 18.756409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447895050048828 y=0.664142608642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447895050048828 × 217)
    floor (0.447895050048828 × 131072)
    floor (58706.5)     		tx = 58706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664142608642578 × 217)
    floor (0.664142608642578 × 131072)
    floor (87050.5)     		ty = 87050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58706 / 87050 ti = "17/58706/87050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58706/87050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58706 ÷ 217
    58706 ÷ 131072     		x = 0.447891235351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87050 ÷ 217
    87050 ÷ 131072     		y = 0.664138793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447891235351562 × 2 - 1) × π
    -0.104217529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32740902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664138793945312 × 2 - 1) × π
    -0.328277587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03131445842589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32740902} λ = -0.32740902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03131445842589))-π/2
    2×atan(0.35653799804512)-π/2
    2×0.34248740155686-π/2
    0.68497480311372-1.57079632675     		φ = -0.88582152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32740902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.759155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88582152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.753834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58706 KachelY 87050 -0.32740902 -0.88582152 -18.759155 -50.753834
    Oben rechts KachelX + 1 58707 KachelY 87050 -0.32736109 -0.88582152 -18.756409 -50.753834
    Unten links KachelX 58706 KachelY + 1 87051 -0.32740902 -0.88585185 -18.759155 -50.755572
    Unten rechts KachelX + 1 58707 KachelY + 1 87051 -0.32736109 -0.88585185 -18.756409 -50.755572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88582152--0.88585185) × R
    3.03299999999673e-05 × 6371000     		dl = 193.232429999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88582152--0.88585185) × R
    3.03299999999673e-05 × 6371000     		dr = 193.232429999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32740902--0.32736109) × cos(-0.88582152) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.632653501217721 × 6371000     		do = 193.188357418345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32740902--0.32736109) × cos(-0.88585185) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.63263001231361 × 6371000     		du = 193.181184798904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88582152)-sin(-0.88585185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632653501217721-0.63263001231361)×R²
    abs(-0.32736109--0.32740902)×2.34889041107467e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34889041107467e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34889041107467e-05×40589641000000     		ar = 37329.5627630021m²