Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58705 / 88197
↖ ↑ ↗
← S 52.704683°
W 18.761902°		 ← 185.06 m → S 52.704683°
W 18.759155°		 →
↑
185.01 m
↓
↑
185.01 m
↓
S 52.706347°
W 18.761902°		 ← 185.06 m →
34 239 m²		 S 52.706347°
W 18.759155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447887420654297 y=0.672893524169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447887420654297 × 217)
    floor (0.447887420654297 × 131072)
    floor (58705.5)     		tx = 58705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672893524169922 × 217)
    floor (0.672893524169922 × 131072)
    floor (88197.5)     		ty = 88197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58705 / 88197 ti = "17/58705/88197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58705/88197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58705 ÷ 217
    58705 ÷ 131072     		x = 0.447883605957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88197 ÷ 217
    88197 ÷ 131072     		y = 0.672889709472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447883605957031 × 2 - 1) × π
    -0.104232788085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.32745696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672889709472656 × 2 - 1) × π
    -0.345779418945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.08629808229009
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32745696} λ = -0.32745696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08629808229009))-π/2
    2×atan(0.337463446132744)-π/2
    2×0.325463038945076-π/2
    0.650926077890152-1.57079632675     		φ = -0.91987025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32745696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.761902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91987025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.704683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58705 KachelY 88197 -0.32745696 -0.91987025 -18.761902 -52.704683
    Oben rechts KachelX + 1 58706 KachelY 88197 -0.32740902 -0.91987025 -18.759155 -52.704683
    Unten links KachelX 58705 KachelY + 1 88198 -0.32745696 -0.91989929 -18.761902 -52.706347
    Unten rechts KachelX + 1 58706 KachelY + 1 88198 -0.32740902 -0.91989929 -18.759155 -52.706347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91987025--0.91989929) × R
    2.90400000000357e-05 × 6371000     		dl = 185.013840000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91987025--0.91989929) × R
    2.90400000000357e-05 × 6371000     		dr = 185.013840000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32745696--0.32740902) × cos(-0.91987025) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.605923380853863 × 6371000     		do = 185.064596980686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32745696--0.32740902) × cos(-0.91989929) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.605900278610215 × 6371000     		du = 185.057540960824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91987025)-sin(-0.91989929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605923380853863-0.605900278610215)×R²
    abs(-0.32740902--0.32745696)×2.31022436482098e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31022436482098e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31022436482098e-05×40589641000000     		ar = 34238.8590073589m²