Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58703 / 89777
↖ ↑ ↗
← S 55.255642°
W 18.767395°		 ← 174.07 m → S 55.255642°
W 18.764649°		 →
↑
174.06 m
↓
↑
174.06 m
↓
S 55.257208°
W 18.767395°		 ← 174.06 m →
30 297 m²		 S 55.257208°
W 18.764649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447872161865234 y=0.684947967529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447872161865234 × 217)
    floor (0.447872161865234 × 131072)
    floor (58703.5)     		tx = 58703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684947967529297 × 217)
    floor (0.684947967529297 × 131072)
    floor (89777.5)     		ty = 89777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58703 / 89777 ti = "17/58703/89777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58703/89777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58703 ÷ 217
    58703 ÷ 131072     		x = 0.447868347167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89777 ÷ 217
    89777 ÷ 131072     		y = 0.684944152832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447868347167969 × 2 - 1) × π
    -0.104263305664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.32755284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684944152832031 × 2 - 1) × π
    -0.369888305664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.16203838368978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32755284} λ = -0.32755284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16203838368978))-π/2
    2×atan(0.312847826591041)-π/2
    2×0.303201718152994-π/2
    0.606403436305989-1.57079632675     		φ = -0.96439289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32755284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.767395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96439289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.255642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58703 KachelY 89777 -0.32755284 -0.96439289 -18.767395 -55.255642
    Oben rechts KachelX + 1 58704 KachelY 89777 -0.32750490 -0.96439289 -18.764649 -55.255642
    Unten links KachelX 58703 KachelY + 1 89778 -0.32755284 -0.96442021 -18.767395 -55.257208
    Unten rechts KachelX + 1 58704 KachelY + 1 89778 -0.32750490 -0.96442021 -18.764649 -55.257208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96439289--0.96442021) × R
    2.73200000000529e-05 × 6371000     		dl = 174.055720000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96439289--0.96442021) × R
    2.73200000000529e-05 × 6371000     		dr = 174.055720000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32755284--0.32750490) × cos(-0.96439289) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.569915845460955 × 6371000     		do = 174.066968837725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32755284--0.32750490) × cos(-0.96442021) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.5698933963205 × 6371000     		du = 174.060112292389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96439289)-sin(-0.96442021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569915845460955-0.5698933963205)×R²
    abs(-0.32750490--0.32755284)×2.24491404549054e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24491404549054e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24491404549054e-05×40589641000000     		ar = 30296.7548808244m²