Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58703 / 88374
↖ ↑ ↗
← S 52.998256°
W 18.767395°		 ← 183.82 m → S 52.998256°
W 18.764649°		 →
↑
183.80 m
↓
↑
183.80 m
↓
S 52.999909°
W 18.767395°		 ← 183.81 m →
33 786 m²		 S 52.999909°
W 18.764649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447872161865234 y=0.674243927001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447872161865234 × 217)
    floor (0.447872161865234 × 131072)
    floor (58703.5)     		tx = 58703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674243927001953 × 217)
    floor (0.674243927001953 × 131072)
    floor (88374.5)     		ty = 88374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58703 / 88374 ti = "17/58703/88374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58703/88374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58703 ÷ 217
    58703 ÷ 131072     		x = 0.447868347167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88374 ÷ 217
    88374 ÷ 131072     		y = 0.674240112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447868347167969 × 2 - 1) × π
    -0.104263305664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.32755284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674240112304688 × 2 - 1) × π
    -0.348480224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.09478291352284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32755284} λ = -0.32755284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09478291352284))-π/2
    2×atan(0.334612238856767)-π/2
    2×0.322901127417563-π/2
    0.645802254835127-1.57079632675     		φ = -0.92499407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32755284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.767395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92499407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.998256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58703 KachelY 88374 -0.32755284 -0.92499407 -18.767395 -52.998256
    Oben rechts KachelX + 1 58704 KachelY 88374 -0.32750490 -0.92499407 -18.764649 -52.998256
    Unten links KachelX 58703 KachelY + 1 88375 -0.32755284 -0.92502292 -18.767395 -52.999909
    Unten rechts KachelX + 1 58704 KachelY + 1 88375 -0.32750490 -0.92502292 -18.764649 -52.999909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92499407--0.92502292) × R
    2.88499999999692e-05 × 6371000     		dl = 183.803349999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92499407--0.92502292) × R
    2.88499999999692e-05 × 6371000     		dr = 183.803349999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32755284--0.32750490) × cos(-0.92499407) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.601839328192657 × 6371000     		do = 183.817222174437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32755284--0.32750490) × cos(-0.92502292) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.601816287836142 × 6371000     		du = 183.810185056499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92499407)-sin(-0.92502292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601839328192657-0.601816287836142)×R²
    abs(-0.32750490--0.32755284)×2.30403565147919e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30403565147919e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30403565147919e-05×40589641000000     		ar = 33785.5745027013m²