Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58702 / 88263
↖ ↑ ↗
← S 52.814383°
W 18.770141°		 ← 184.56 m → S 52.814383°
W 18.767395°		 →
↑
184.57 m
↓
↑
184.57 m
↓
S 52.816043°
W 18.770141°		 ← 184.55 m →
34 063 m²		 S 52.816043°
W 18.767395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447864532470703 y=0.673397064208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447864532470703 × 217)
    floor (0.447864532470703 × 131072)
    floor (58702.5)     		tx = 58702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673397064208984 × 217)
    floor (0.673397064208984 × 131072)
    floor (88263.5)     		ty = 88263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58702 / 88263 ti = "17/58702/88263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58702/88263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58702 ÷ 217
    58702 ÷ 131072     		x = 0.447860717773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88263 ÷ 217
    88263 ÷ 131072     		y = 0.673393249511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447860717773438 × 2 - 1) × π
    -0.104278564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32760077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673393249511719 × 2 - 1) × π
    -0.346786499023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.08946191766502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32760077} λ = -0.32760077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08946191766502))-π/2
    2×atan(0.336397454544276)-π/2
    2×0.324505723856647-π/2
    0.649011447713294-1.57079632675     		φ = -0.92178488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32760077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.770141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92178488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.814383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58702 KachelY 88263 -0.32760077 -0.92178488 -18.770141 -52.814383
    Oben rechts KachelX + 1 58703 KachelY 88263 -0.32755284 -0.92178488 -18.767395 -52.814383
    Unten links KachelX 58702 KachelY + 1 88264 -0.32760077 -0.92181385 -18.770141 -52.816043
    Unten rechts KachelX + 1 58703 KachelY + 1 88264 -0.32755284 -0.92181385 -18.767395 -52.816043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92178488--0.92181385) × R
    2.8970000000017e-05 × 6371000     		dl = 184.567870000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92178488--0.92181385) × R
    2.8970000000017e-05 × 6371000     		dr = 184.567870000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32760077--0.32755284) × cos(-0.92178488) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.604399138968247 × 6371000     		do = 184.560548005495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32760077--0.32755284) × cos(-0.92181385) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.604376058846691 × 6371000     		du = 184.553500212724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92178488)-sin(-0.92181385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604399138968247-0.604376058846691)×R²
    abs(-0.32755284--0.32760077)×2.30801215554965e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.30801215554965e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.30801215554965e-05×40589641000000     		ar = 34063.2968358941m²