Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58700 / 88196
↖ ↑ ↗
← S 52.703019°
W 18.775635°		 ← 185.07 m → S 52.703019°
W 18.772888°		 →
↑
185.08 m
↓
↑
185.08 m
↓
S 52.704683°
W 18.775635°		 ← 185.06 m →
34 252 m²		 S 52.704683°
W 18.772888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447849273681641 y=0.672885894775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447849273681641 × 217)
    floor (0.447849273681641 × 131072)
    floor (58700.5)     		tx = 58700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672885894775391 × 217)
    floor (0.672885894775391 × 131072)
    floor (88196.5)     		ty = 88196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58700 / 88196 ti = "17/58700/88196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58700/88196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58700 ÷ 217
    58700 ÷ 131072     		x = 0.447845458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88196 ÷ 217
    88196 ÷ 131072     		y = 0.672882080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447845458984375 × 2 - 1) × π
    -0.10430908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32769665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672882080078125 × 2 - 1) × π
    -0.34576416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.08625014539047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32769665} λ = -0.32769665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08625014539047))-π/2
    2×atan(0.33747962347183)-π/2
    2×0.325477562266158-π/2
    0.650955124532317-1.57079632675     		φ = -0.91984120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32769665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.775635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91984120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.703019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58700 KachelY 88196 -0.32769665 -0.91984120 -18.775635 -52.703019
    Oben rechts KachelX + 1 58701 KachelY 88196 -0.32764871 -0.91984120 -18.772888 -52.703019
    Unten links KachelX 58700 KachelY + 1 88197 -0.32769665 -0.91987025 -18.775635 -52.704683
    Unten rechts KachelX + 1 58701 KachelY + 1 88197 -0.32764871 -0.91987025 -18.772888 -52.704683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91984120--0.91987025) × R
    2.90499999999749e-05 × 6371000     		dl = 185.07754999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91984120--0.91987025) × R
    2.90499999999749e-05 × 6371000     		dr = 185.07754999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32769665--0.32764871) × cos(-0.91984120) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.605946490541577 × 6371000     		do = 185.071655273943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32769665--0.32764871) × cos(-0.91987025) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.605923380853863 × 6371000     		du = 185.064596980472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91984120)-sin(-0.91987025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605946490541577-0.605923380853863)×R²
    abs(-0.32764871--0.32769665)×2.3109687714129e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3109687714129e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3109687714129e-05×40589641000000     		ar = 34251.9553690985m²