Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 587 / 573
↖ ↑ ↗
← S 20.961440°
E 26.367188°		 ← 36.505 km → S 20.961440°
E 26.718750°		 →
↑
36.465 km
↓
↑
36.465 km
↓
S 21.289374°
E 26.367188°		 ← 36.424 km →
1 329.67 km²		 S 21.289374°
E 26.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57373046875 y=0.56005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57373046875 × 210)
    floor (0.57373046875 × 1024)
    floor (587.5)     		tx = 587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56005859375 × 210)
    floor (0.56005859375 × 1024)
    floor (573.5)     		ty = 573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 587 / 573 ti = "10/587/573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/587/573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 587 ÷ 210
    587 ÷ 1024     		x = 0.5732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 573 ÷ 210
    573 ÷ 1024     		y = 0.5595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5732421875 × 2 - 1) × π
    0.146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46019424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5595703125 × 2 - 1) × π
    -0.119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.374291312233398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46019424} λ = 0.46019424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.374291312233398))-π/2
    2×atan(0.687776524927263)-π/2
    2×0.602475094790464-π/2
    1.20495018958093-1.57079632675     		φ = -0.36584614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46019424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.367188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36584614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.961440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 587 KachelY 573 0.46019424 -0.36584614 26.367188 -20.961440
    Oben rechts KachelX + 1 588 KachelY 573 0.46633016 -0.36584614 26.718750 -20.961440
    Unten links KachelX 587 KachelY + 1 574 0.46019424 -0.37156968 26.367188 -21.289374
    Unten rechts KachelX + 1 588 KachelY + 1 574 0.46633016 -0.37156968 26.718750 -21.289374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36584614--0.37156968) × R
    0.00572354000000003 × 6371000     		dl = 36464.6733400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36584614--0.37156968) × R
    0.00572354000000003 × 6371000     		dr = 36464.6733400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46019424-0.46633016) × cos(-0.36584614) × R
    0.00613592000000002 × 0.933821397730396 × 6371000     		do = 36504.8959525441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46019424-0.46633016) × cos(-0.37156968) × R
    0.00613592000000002 × 0.931758576749633 × 6371000     		du = 36424.2562654963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36584614)-sin(-0.37156968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933821397730396-0.931758576749633)×R²
    abs(0.46633016-0.46019424)×0.0020628209807636×R²
    0.00613592000000002×0.0020628209807636×6371000²
    0.00613592000000002×0.0020628209807636×40589641000000     		ar = 1329672486.1841m²