Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58698 / 88414
↖ ↑ ↗
← S 53.064326°
W 18.781128°		 ← 183.54 m → S 53.064326°
W 18.778381°		 →
↑
183.55 m
↓
↑
183.55 m
↓
S 53.065976°
W 18.781128°		 ← 183.53 m →
33 687 m²		 S 53.065976°
W 18.778381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447834014892578 y=0.674549102783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447834014892578 × 217)
    floor (0.447834014892578 × 131072)
    floor (58698.5)     		tx = 58698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674549102783203 × 217)
    floor (0.674549102783203 × 131072)
    floor (88414.5)     		ty = 88414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58698 / 88414 ti = "17/58698/88414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58698/88414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58698 ÷ 217
    58698 ÷ 131072     		x = 0.447830200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88414 ÷ 217
    88414 ÷ 131072     		y = 0.674545288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447830200195312 × 2 - 1) × π
    -0.104339599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32779252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674545288085938 × 2 - 1) × π
    -0.349090576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.09670038950764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32779252} λ = -0.32779252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09670038950764))-π/2
    2×atan(0.333971242668334)-π/2
    2×0.322324562885476-π/2
    0.644649125770952-1.57079632675     		φ = -0.92614720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32779252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.781128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92614720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.064326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58698 KachelY 88414 -0.32779252 -0.92614720 -18.781128 -53.064326
    Oben rechts KachelX + 1 58699 KachelY 88414 -0.32774458 -0.92614720 -18.778381 -53.064326
    Unten links KachelX 58698 KachelY + 1 88415 -0.32779252 -0.92617601 -18.781128 -53.065976
    Unten rechts KachelX + 1 58699 KachelY + 1 88415 -0.32774458 -0.92617601 -18.778381 -53.065976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92614720--0.92617601) × R
    2.88100000001013e-05 × 6371000     		dl = 183.548510000645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92614720--0.92617601) × R
    2.88100000001013e-05 × 6371000     		dr = 183.548510000645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32779252--0.32774458) × cos(-0.92614720) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.600918018815997 × 6371000     		do = 183.535830576089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32779252--0.32774458) × cos(-0.92617601) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.600894990426437 × 6371000     		du = 183.528797113167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92614720)-sin(-0.92617601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600918018815997-0.600894990426437)×R²
    abs(-0.32774458--0.32779252)×2.30283895599204e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30283895599204e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30283895599204e-05×40589641000000     		ar = 33687.0827455634m²