Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58698 / 87538
↖ ↑ ↗
← S 51.594136°
W 18.781128°		 ← 189.74 m → S 51.594136°
W 18.778381°		 →
↑
189.66 m
↓
↑
189.66 m
↓
S 51.595841°
W 18.781128°		 ← 189.73 m →
35 986 m²		 S 51.595841°
W 18.778381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447834014892578 y=0.667865753173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447834014892578 × 217)
    floor (0.447834014892578 × 131072)
    floor (58698.5)     		tx = 58698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667865753173828 × 217)
    floor (0.667865753173828 × 131072)
    floor (87538.5)     		ty = 87538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58698 / 87538 ti = "17/58698/87538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58698/87538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58698 ÷ 217
    58698 ÷ 131072     		x = 0.447830200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87538 ÷ 217
    87538 ÷ 131072     		y = 0.667861938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447830200195312 × 2 - 1) × π
    -0.104339599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32779252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667861938476562 × 2 - 1) × π
    -0.335723876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.05470766544048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32779252} λ = -0.32779252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05470766544048))-π/2
    2×atan(0.348294230865688)-π/2
    2×0.335154395741281-π/2
    0.670308791482562-1.57079632675     		φ = -0.90048754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32779252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.781128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90048754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.594136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58698 KachelY 87538 -0.32779252 -0.90048754 -18.781128 -51.594136
    Oben rechts KachelX + 1 58699 KachelY 87538 -0.32774458 -0.90048754 -18.778381 -51.594136
    Unten links KachelX 58698 KachelY + 1 87539 -0.32779252 -0.90051731 -18.781128 -51.595841
    Unten rechts KachelX + 1 58699 KachelY + 1 87539 -0.32774458 -0.90051731 -18.778381 -51.595841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90048754--0.90051731) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dl = 189.664670000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90048754--0.90051731) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dr = 189.664670000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32779252--0.32774458) × cos(-0.90048754) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621227991207407 × 6371000     		do = 189.739018923111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32779252--0.32774458) × cos(-0.90051731) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621204662270712 × 6371000     		du = 189.731893665358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90048754)-sin(-0.90051731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621227991207407-0.621204662270712)×R²
    abs(-0.32774458--0.32779252)×2.33289366948775e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33289366948775e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33289366948775e-05×40589641000000     		ar = 35986.1127079367m²