Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58694 / 90055
↖ ↑ ↗
← S 55.688424°
W 18.792114°		 ← 172.17 m → S 55.688424°
W 18.789368°		 →
↑
172.14 m
↓
↑
172.14 m
↓
S 55.689972°
W 18.792114°		 ← 172.16 m →
29 637 m²		 S 55.689972°
W 18.789368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447803497314453 y=0.687068939208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447803497314453 × 217)
    floor (0.447803497314453 × 131072)
    floor (58694.5)     		tx = 58694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687068939208984 × 217)
    floor (0.687068939208984 × 131072)
    floor (90055.5)     		ty = 90055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58694 / 90055 ti = "17/58694/90055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58694/90055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58694 ÷ 217
    58694 ÷ 131072     		x = 0.447799682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90055 ÷ 217
    90055 ÷ 131072     		y = 0.687065124511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447799682617188 × 2 - 1) × π
    -0.104400634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32798427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687065124511719 × 2 - 1) × π
    -0.374130249023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.17536484178416
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32798427} λ = -0.32798427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17536484178416))-π/2
    2×atan(0.308706330171364)-π/2
    2×0.299424990611313-π/2
    0.598849981222625-1.57079632675     		φ = -0.97194635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32798427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.792114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97194635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.688424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58694 KachelY 90055 -0.32798427 -0.97194635 -18.792114 -55.688424
    Oben rechts KachelX + 1 58695 KachelY 90055 -0.32793633 -0.97194635 -18.789368 -55.688424
    Unten links KachelX 58694 KachelY + 1 90056 -0.32798427 -0.97197337 -18.792114 -55.689972
    Unten rechts KachelX + 1 58695 KachelY + 1 90056 -0.32793633 -0.97197337 -18.789368 -55.689972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97194635--0.97197337) × R
    2.70199999999887e-05 × 6371000     		dl = 172.144419999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97194635--0.97197337) × R
    2.70199999999887e-05 × 6371000     		dr = 172.144419999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32798427--0.32793633) × cos(-0.97194635) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.563692945110246 × 6371000     		do = 172.166334893163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32798427--0.32793633) × cos(-0.97197337) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.563670626805425 × 6371000     		du = 172.159518308397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97194635)-sin(-0.97197337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563692945110246-0.563670626805425)×R²
    abs(-0.32793633--0.32798427)×2.2318304821578e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2318304821578e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2318304821578e-05×40589641000000     		ar = 29636.8871469673m²