Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58686 / 87927
↖ ↑ ↗
← S 52.253027°
W 18.814087°		 ← 186.94 m → S 52.253027°
W 18.811341°		 →
↑
186.99 m
↓
↑
186.99 m
↓
S 52.254709°
W 18.814087°		 ← 186.93 m →
34 954 m²		 S 52.254709°
W 18.811341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447742462158203 y=0.670833587646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447742462158203 × 217)
    floor (0.447742462158203 × 131072)
    floor (58686.5)     		tx = 58686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670833587646484 × 217)
    floor (0.670833587646484 × 131072)
    floor (87927.5)     		ty = 87927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58686 / 87927 ti = "17/58686/87927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58686/87927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58686 ÷ 217
    58686 ÷ 131072     		x = 0.447738647460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87927 ÷ 217
    87927 ÷ 131072     		y = 0.670829772949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447738647460938 × 2 - 1) × π
    -0.104522705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32836776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670829772949219 × 2 - 1) × π
    -0.341659545898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.07335511939268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32836776} λ = -0.32836776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07335511939268))-π/2
    2×atan(0.34185961132637)-π/2
    2×0.329404476901206-π/2
    0.658808953802413-1.57079632675     		φ = -0.91198737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32836776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.814087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91198737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.253027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58686 KachelY 87927 -0.32836776 -0.91198737 -18.814087 -52.253027
    Oben rechts KachelX + 1 58687 KachelY 87927 -0.32831983 -0.91198737 -18.811341 -52.253027
    Unten links KachelX 58686 KachelY + 1 87928 -0.32836776 -0.91201672 -18.814087 -52.254709
    Unten rechts KachelX + 1 58687 KachelY + 1 87928 -0.32831983 -0.91201672 -18.811341 -52.254709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91198737--0.91201672) × R
    2.93500000000391e-05 × 6371000     		dl = 186.988850000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91198737--0.91201672) × R
    2.93500000000391e-05 × 6371000     		dr = 186.988850000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32836776--0.32831983) × cos(-0.91198737) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.612175502437684 × 6371000     		do = 186.935154140756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32836776--0.32831983) × cos(-0.91201672) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.612152294485675 × 6371000     		du = 186.928067313418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91198737)-sin(-0.91201672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612175502437684-0.612152294485675)×R²
    abs(-0.32831983--0.32836776)×2.32079520092743e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32079520092743e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32079520092743e-05×40589641000000     		ar = 34954.1269211841m²