Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58685 / 88236
↖ ↑ ↗
← S 52.769539°
W 18.816834°		 ← 184.79 m → S 52.769539°
W 18.814087°		 →
↑
184.82 m
↓
↑
184.82 m
↓
S 52.771201°
W 18.816834°		 ← 184.78 m →
34 153 m²		 S 52.771201°
W 18.814087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447734832763672 y=0.673191070556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447734832763672 × 217)
    floor (0.447734832763672 × 131072)
    floor (58685.5)     		tx = 58685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673191070556641 × 217)
    floor (0.673191070556641 × 131072)
    floor (88236.5)     		ty = 88236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58685 / 88236 ti = "17/58685/88236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58685/88236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58685 ÷ 217
    58685 ÷ 131072     		x = 0.447731018066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88236 ÷ 217
    88236 ÷ 131072     		y = 0.673187255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447731018066406 × 2 - 1) × π
    -0.104537963867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.32841570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673187255859375 × 2 - 1) × π
    -0.34637451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.08816762137527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32841570} λ = -0.32841570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08816762137527))-π/2
    2×atan(0.336833134410167)-π/2
    2×0.324897061326343-π/2
    0.649794122652686-1.57079632675     		φ = -0.92100220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32841570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.816834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92100220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.769539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58685 KachelY 88236 -0.32841570 -0.92100220 -18.816834 -52.769539
    Oben rechts KachelX + 1 58686 KachelY 88236 -0.32836776 -0.92100220 -18.814087 -52.769539
    Unten links KachelX 58685 KachelY + 1 88237 -0.32841570 -0.92103121 -18.816834 -52.771201
    Unten rechts KachelX + 1 58686 KachelY + 1 88237 -0.32836776 -0.92103121 -18.814087 -52.771201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92100220--0.92103121) × R
    2.9009999999996e-05 × 6371000     		dl = 184.822709999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92100220--0.92103121) × R
    2.9009999999996e-05 × 6371000     		dr = 184.822709999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32841570--0.32836776) × cos(-0.92100220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.605022500589017 × 6371000     		do = 184.78944495893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32841570--0.32836776) × cos(-0.92103121) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604999402329522 × 6371000     		du = 184.782390155931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92100220)-sin(-0.92103121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605022500589017-0.604999402329522)×R²
    abs(-0.32836776--0.32841570)×2.30982594949802e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30982594949802e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30982594949802e-05×40589641000000     		ar = 34152.6340552552m²