Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58680 / 88358
↖ ↑ ↗
← S 52.971801°
W 18.830566°		 ← 183.89 m → S 52.971801°
W 18.827820°		 →
↑
183.87 m
↓
↑
183.87 m
↓
S 52.973454°
W 18.830566°		 ← 183.88 m →
33 811 m²		 S 52.973454°
W 18.827820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447696685791016 y=0.674121856689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447696685791016 × 217)
    floor (0.447696685791016 × 131072)
    floor (58680.5)     		tx = 58680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674121856689453 × 217)
    floor (0.674121856689453 × 131072)
    floor (88358.5)     		ty = 88358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58680 / 88358 ti = "17/58680/88358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58680/88358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58680 ÷ 217
    58680 ÷ 131072     		x = 0.44769287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88358 ÷ 217
    88358 ÷ 131072     		y = 0.674118041992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.1046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32865538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674118041992188 × 2 - 1) × π
    -0.348236083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.09401592312892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32865538} λ = -0.32865538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09401592312892))-π/2
    2×atan(0.334868981676711)-π/2
    2×0.323132000601822-π/2
    0.646264001203645-1.57079632675     		φ = -0.92453233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32865538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.830566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92453233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.971801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58680 KachelY 88358 -0.32865538 -0.92453233 -18.830566 -52.971801
    Oben rechts KachelX + 1 58681 KachelY 88358 -0.32860745 -0.92453233 -18.827820 -52.971801
    Unten links KachelX 58680 KachelY + 1 88359 -0.32865538 -0.92456119 -18.830566 -52.973454
    Unten rechts KachelX + 1 58681 KachelY + 1 88359 -0.32860745 -0.92456119 -18.827820 -52.973454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92453233--0.92456119) × R
    2.88600000000194e-05 × 6371000     		dl = 183.867060000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92453233--0.92456119) × R
    2.88600000000194e-05 × 6371000     		dr = 183.867060000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32865538--0.32860745) × cos(-0.92453233) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.602208017525629 × 6371000     		do = 183.891462713801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32865538--0.32860745) × cos(-0.92456119) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.602184977205072 × 6371000     		du = 183.884427074744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92453233)-sin(-0.92456119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602208017525629-0.602184977205072)×R²
    abs(-0.32860745--0.32865538)×2.30403205567775e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.30403205567775e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.30403205567775e-05×40589641000000     		ar = 33810.9357995043m²