Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58678 / 88242
↖ ↑ ↗
← S 52.779508°
W 18.836060°		 ← 184.75 m → S 52.779508°
W 18.833313°		 →
↑
184.76 m
↓
↑
184.76 m
↓
S 52.781170°
W 18.836060°		 ← 184.74 m →
34 133 m²		 S 52.781170°
W 18.833313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447681427001953 y=0.673236846923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447681427001953 × 217)
    floor (0.447681427001953 × 131072)
    floor (58678.5)     		tx = 58678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673236846923828 × 217)
    floor (0.673236846923828 × 131072)
    floor (88242.5)     		ty = 88242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58678 / 88242 ti = "17/58678/88242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58678/88242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58678 ÷ 217
    58678 ÷ 131072     		x = 0.447677612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88242 ÷ 217
    88242 ÷ 131072     		y = 0.673233032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447677612304688 × 2 - 1) × π
    -0.104644775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32875126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673233032226562 × 2 - 1) × π
    -0.346466064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08845524277299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32875126} λ = -0.32875126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08845524277299))-π/2
    2×atan(0.336736267924354)-π/2
    2×0.324810062580643-π/2
    0.649620125161286-1.57079632675     		φ = -0.92117620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32875126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.836060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92117620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.779508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58678 KachelY 88242 -0.32875126 -0.92117620 -18.836060 -52.779508
    Oben rechts KachelX + 1 58679 KachelY 88242 -0.32870332 -0.92117620 -18.833313 -52.779508
    Unten links KachelX 58678 KachelY + 1 88243 -0.32875126 -0.92120520 -18.836060 -52.781170
    Unten rechts KachelX + 1 58679 KachelY + 1 88243 -0.32870332 -0.92120520 -18.833313 -52.781170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92117620--0.92120520) × R
    2.89999999999457e-05 × 6371000     		dl = 184.758999999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92117620--0.92120520) × R
    2.89999999999457e-05 × 6371000     		dr = 184.758999999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32875126--0.32870332) × cos(-0.92117620) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604883951173923 × 6371000     		do = 184.747128401298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32875126--0.32870332) × cos(-0.92120520) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604860857824152 × 6371000     		du = 184.740075097855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92117620)-sin(-0.92120520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604883951173923-0.604860857824152)×R²
    abs(-0.32870332--0.32875126)×2.30933497713526e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30933497713526e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30933497713526e-05×40589641000000     		ar = 34133.0431179192m²