Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58677 / 88244
↖ ↑ ↗
← S 52.782831°
W 18.838806°		 ← 184.69 m → S 52.782831°
W 18.836060°		 →
↑
184.76 m
↓
↑
184.76 m
↓
S 52.784493°
W 18.838806°		 ← 184.69 m →
34 123 m²		 S 52.784493°
W 18.836060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447673797607422 y=0.673252105712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447673797607422 × 217)
    floor (0.447673797607422 × 131072)
    floor (58677.5)     		tx = 58677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673252105712891 × 217)
    floor (0.673252105712891 × 131072)
    floor (88244.5)     		ty = 88244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58677 / 88244 ti = "17/58677/88244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58677/88244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58677 ÷ 217
    58677 ÷ 131072     		x = 0.447669982910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88244 ÷ 217
    88244 ÷ 131072     		y = 0.673248291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447669982910156 × 2 - 1) × π
    -0.104660034179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32879919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673248291015625 × 2 - 1) × π
    -0.34649658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08855111657224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32879919} λ = -0.32879919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08855111657224))-π/2
    2×atan(0.336703985286561)-π/2
    2×0.324781067426313-π/2
    0.649562134852626-1.57079632675     		φ = -0.92123419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32879919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.838806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92123419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.782831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58677 KachelY 88244 -0.32879919 -0.92123419 -18.838806 -52.782831
    Oben rechts KachelX + 1 58678 KachelY 88244 -0.32875126 -0.92123419 -18.836060 -52.782831
    Unten links KachelX 58677 KachelY + 1 88245 -0.32879919 -0.92126319 -18.838806 -52.784493
    Unten rechts KachelX + 1 58678 KachelY + 1 88245 -0.32875126 -0.92126319 -18.836060 -52.784493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92123419--0.92126319) × R
    2.90000000000568e-05 × 6371000     		dl = 184.759000000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92123419--0.92126319) × R
    2.90000000000568e-05 × 6371000     		dr = 184.759000000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32879919--0.32875126) × cos(-0.92123419) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.60483777192918 × 6371000     		do = 184.694489857084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32879919--0.32875126) × cos(-0.92126319) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.604814677562227 × 6371000     		du = 184.68743771431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92123419)-sin(-0.92126319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60483777192918-0.604814677562227)×R²
    abs(-0.32875126--0.32879919)×2.30943669525807e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30943669525807e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30943669525807e-05×40589641000000     		ar = 34123.3177805565m²