Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58675 / 87971
↖ ↑ ↗
← S 52.326947°
W 18.844299°		 ← 186.66 m → S 52.326947°
W 18.841553°		 →
↑
186.67 m
↓
↑
186.67 m
↓
S 52.328626°
W 18.844299°		 ← 186.66 m →
34 844 m²		 S 52.328626°
W 18.841553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447658538818359 y=0.671169281005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447658538818359 × 217)
    floor (0.447658538818359 × 131072)
    floor (58675.5)     		tx = 58675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671169281005859 × 217)
    floor (0.671169281005859 × 131072)
    floor (87971.5)     		ty = 87971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58675 / 87971 ti = "17/58675/87971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58675/87971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58675 ÷ 217
    58675 ÷ 131072     		x = 0.447654724121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87971 ÷ 217
    87971 ÷ 131072     		y = 0.671165466308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447654724121094 × 2 - 1) × π
    -0.104690551757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.32889507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671165466308594 × 2 - 1) × π
    -0.342330932617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.07546434297596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32889507} λ = -0.32889507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07546434297596))-π/2
    2×atan(0.34113931287427)-π/2
    2×0.328759407655228-π/2
    0.657518815310455-1.57079632675     		φ = -0.91327751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32889507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.844299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91327751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.326947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58675 KachelY 87971 -0.32889507 -0.91327751 -18.844299 -52.326947
    Oben rechts KachelX + 1 58676 KachelY 87971 -0.32884713 -0.91327751 -18.841553 -52.326947
    Unten links KachelX 58675 KachelY + 1 87972 -0.32889507 -0.91330681 -18.844299 -52.328626
    Unten rechts KachelX + 1 58676 KachelY + 1 87972 -0.32884713 -0.91330681 -18.841553 -52.328626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91327751--0.91330681) × R
    2.93000000000099e-05 × 6371000     		dl = 186.670300000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91327751--0.91330681) × R
    2.93000000000099e-05 × 6371000     		dr = 186.670300000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32889507--0.32884713) × cos(-0.91327751) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.611154851272144 × 6371000     		do = 186.662422704478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32889507--0.32884713) × cos(-0.91330681) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.611131659735945 × 6371000     		du = 186.655339412373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91327751)-sin(-0.91330681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611154851272144-0.611131659735945)×R²
    abs(-0.32884713--0.32889507)×2.31915361985635e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31915361985635e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31915361985635e-05×40589641000000     		ar = 34843.6693272993m²