Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58674 / 87750
↖ ↑ ↗
← S 51.954422°
W 18.847046°		 ← 188.23 m → S 51.954422°
W 18.844299°		 →
↑
188.20 m
↓
↑
188.20 m
↓
S 51.956115°
W 18.847046°		 ← 188.22 m →
35 424 m²		 S 51.956115°
W 18.844299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447650909423828 y=0.669483184814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447650909423828 × 217)
    floor (0.447650909423828 × 131072)
    floor (58674.5)     		tx = 58674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669483184814453 × 217)
    floor (0.669483184814453 × 131072)
    floor (87750.5)     		ty = 87750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58674 / 87750 ti = "17/58674/87750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58674/87750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58674 ÷ 217
    58674 ÷ 131072     		x = 0.447647094726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87750 ÷ 217
    87750 ÷ 131072     		y = 0.669479370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447647094726562 × 2 - 1) × π
    -0.104705810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32894301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669479370117188 × 2 - 1) × π
    -0.338958740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.06487028815993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32894301} λ = -0.32894301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06487028815993))-π/2
    2×atan(0.344772572951763)-π/2
    2×0.332010299708724-π/2
    0.664020599417447-1.57079632675     		φ = -0.90677573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32894301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.847046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90677573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.954422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58674 KachelY 87750 -0.32894301 -0.90677573 -18.847046 -51.954422
    Oben rechts KachelX + 1 58675 KachelY 87750 -0.32889507 -0.90677573 -18.844299 -51.954422
    Unten links KachelX 58674 KachelY + 1 87751 -0.32894301 -0.90680527 -18.847046 -51.956115
    Unten rechts KachelX + 1 58675 KachelY + 1 87751 -0.32889507 -0.90680527 -18.844299 -51.956115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90677573--0.90680527) × R
    2.95399999999946e-05 × 6371000     		dl = 188.199339999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90677573--0.90680527) × R
    2.95399999999946e-05 × 6371000     		dr = 188.199339999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32894301--0.32889507) × cos(-0.90677573) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.616288128078808 × 6371000     		do = 188.230257571561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32894301--0.32889507) × cos(-0.90680527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61626486444675 × 6371000     		du = 188.223152259525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90677573)-sin(-0.90680527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616288128078808-0.61626486444675)×R²
    abs(-0.32889507--0.32894301)×2.32636320576241e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32636320576241e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32636320576241e-05×40589641000000     		ar = 35424.1416381669m²