Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58672 / 88351
↖ ↑ ↗
← S 52.960220°
W 18.852539°		 ← 183.98 m → S 52.960220°
W 18.849792°		 →
↑
183.99 m
↓
↑
183.99 m
↓
S 52.961875°
W 18.852539°		 ← 183.97 m →
33 850 m²		 S 52.961875°
W 18.849792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447635650634766 y=0.674068450927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447635650634766 × 217)
    floor (0.447635650634766 × 131072)
    floor (58672.5)     		tx = 58672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674068450927734 × 217)
    floor (0.674068450927734 × 131072)
    floor (88351.5)     		ty = 88351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58672 / 88351 ti = "17/58672/88351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58672/88351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58672 ÷ 217
    58672 ÷ 131072     		x = 0.4476318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88351 ÷ 217
    88351 ÷ 131072     		y = 0.674064636230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4476318359375 × 2 - 1) × π
    -0.104736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32903888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674064636230469 × 2 - 1) × π
    -0.348129272460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.09368036483158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32903888} λ = -0.32903888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09368036483158))-π/2
    2×atan(0.334981368597161)-π/2
    2×0.323233052084931-π/2
    0.646466104169863-1.57079632675     		φ = -0.92433022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32903888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.852539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92433022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.960220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58672 KachelY 88351 -0.32903888 -0.92433022 -18.852539 -52.960220
    Oben rechts KachelX + 1 58673 KachelY 88351 -0.32899094 -0.92433022 -18.849792 -52.960220
    Unten links KachelX 58672 KachelY + 1 88352 -0.32903888 -0.92435910 -18.852539 -52.961875
    Unten rechts KachelX + 1 58673 KachelY + 1 88352 -0.32899094 -0.92435910 -18.849792 -52.961875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92433022--0.92435910) × R
    2.88800000000089e-05 × 6371000     		dl = 183.994480000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92433022--0.92435910) × R
    2.88800000000089e-05 × 6371000     		dr = 183.994480000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32903888--0.32899094) × cos(-0.92433022) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602369357563821 × 6371000     		do = 183.979106787134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32903888--0.32899094) × cos(-0.92435910) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602346304791586 × 6371000     		du = 183.972065877115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92433022)-sin(-0.92435910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602369357563821-0.602346304791586)×R²
    abs(-0.32899094--0.32903888)×2.30527722351326e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30527722351326e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30527722351326e-05×40589641000000     		ar = 33850.4923422299m²