Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58670 / 88386
↖ ↑ ↗
← S 53.018088°
W 18.858032°		 ← 183.69 m → S 53.018088°
W 18.855286°		 →
↑
183.68 m
↓
↑
183.68 m
↓
S 53.019740°
W 18.858032°		 ← 183.69 m →
33 740 m²		 S 53.019740°
W 18.855286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447620391845703 y=0.674335479736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447620391845703 × 217)
    floor (0.447620391845703 × 131072)
    floor (58670.5)     		tx = 58670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674335479736328 × 217)
    floor (0.674335479736328 × 131072)
    floor (88386.5)     		ty = 88386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58670 / 88386 ti = "17/58670/88386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58670/88386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58670 ÷ 217
    58670 ÷ 131072     		x = 0.447616577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88386 ÷ 217
    88386 ÷ 131072     		y = 0.674331665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447616577148438 × 2 - 1) × π
    -0.104766845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32913475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674331665039062 × 2 - 1) × π
    -0.348663330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.09535815631828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32913475} λ = -0.32913475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09535815631828))-π/2
    2×atan(0.334419810928794)-π/2
    2×0.322728065307998-π/2
    0.645456130615996-1.57079632675     		φ = -0.92534020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32913475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.858032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92534020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.018088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58670 KachelY 88386 -0.32913475 -0.92534020 -18.858032 -53.018088
    Oben rechts KachelX + 1 58671 KachelY 88386 -0.32908682 -0.92534020 -18.855286 -53.018088
    Unten links KachelX 58670 KachelY + 1 88387 -0.32913475 -0.92536903 -18.858032 -53.019740
    Unten rechts KachelX + 1 58671 KachelY + 1 88387 -0.32908682 -0.92536903 -18.855286 -53.019740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92534020--0.92536903) × R
    2.88300000000907e-05 × 6371000     		dl = 183.675930000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92534020--0.92536903) × R
    2.88300000000907e-05 × 6371000     		dr = 183.675930000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32913475--0.32908682) × cos(-0.92534020) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.601562866776737 × 6371000     		do = 183.694458171464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32913475--0.32908682) × cos(-0.92536903) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.601539836388696 × 6371000     		du = 183.68742556542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92534020)-sin(-0.92536903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601562866776737-0.601539836388696)×R²
    abs(-0.32908682--0.32913475)×2.30303880408567e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.30303880408567e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.30303880408567e-05×40589641000000     		ar = 33739.6045827024m²