Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58669 / 87330
↖ ↑ ↗
← S 51.237847°
W 18.860779°		 ← 191.22 m → S 51.237847°
W 18.858032°		 →
↑
191.19 m
↓
↑
191.19 m
↓
S 51.239566°
W 18.860779°		 ← 191.22 m →
36 560 m²		 S 51.239566°
W 18.858032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447612762451172 y=0.666278839111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447612762451172 × 217)
    floor (0.447612762451172 × 131072)
    floor (58669.5)     		tx = 58669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666278839111328 × 217)
    floor (0.666278839111328 × 131072)
    floor (87330.5)     		ty = 87330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58669 / 87330 ti = "17/58669/87330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58669/87330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58669 ÷ 217
    58669 ÷ 131072     		x = 0.447608947753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87330 ÷ 217
    87330 ÷ 131072     		y = 0.666275024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447608947753906 × 2 - 1) × π
    -0.104782104492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.32918269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666275024414062 × 2 - 1) × π
    -0.332550048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0447367903195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32918269} λ = -0.32918269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0447367903195))-π/2
    2×atan(0.351784400253035)-π/2
    2×0.338263600227973-π/2
    0.676527200455947-1.57079632675     		φ = -0.89426913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32918269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.860779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89426913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.237847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58669 KachelY 87330 -0.32918269 -0.89426913 -18.860779 -51.237847
    Oben rechts KachelX + 1 58670 KachelY 87330 -0.32913475 -0.89426913 -18.858032 -51.237847
    Unten links KachelX 58669 KachelY + 1 87331 -0.32918269 -0.89429914 -18.860779 -51.239566
    Unten rechts KachelX + 1 58670 KachelY + 1 87331 -0.32913475 -0.89429914 -18.858032 -51.239566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89426913--0.89429914) × R
    3.00100000000247e-05 × 6371000     		dl = 191.193710000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89426913--0.89429914) × R
    3.00100000000247e-05 × 6371000     		dr = 191.193710000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32918269--0.32913475) × cos(-0.89426913) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.626088880684499 × 6371000     		do = 191.223659688931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32918269--0.32913475) × cos(-0.89429914) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.626065480054061 × 6371000     		du = 191.216512534063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89426913)-sin(-0.89429914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626088880684499-0.626065480054061)×R²
    abs(-0.32913475--0.32918269)×2.34006304381529e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34006304381529e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34006304381529e-05×40589641000000     		ar = 36560.0776929634m²