Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58668 / 88380
↖ ↑ ↗
← S 53.008173°
W 18.863526°		 ← 183.78 m → S 53.008173°
W 18.860779°		 →
↑
183.80 m
↓
↑
183.80 m
↓
S 53.009826°
W 18.863526°		 ← 183.77 m →
33 778 m²		 S 53.009826°
W 18.860779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447605133056641 y=0.674289703369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447605133056641 × 217)
    floor (0.447605133056641 × 131072)
    floor (58668.5)     		tx = 58668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674289703369141 × 217)
    floor (0.674289703369141 × 131072)
    floor (88380.5)     		ty = 88380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58668 / 88380 ti = "17/58668/88380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58668/88380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58668 ÷ 217
    58668 ÷ 131072     		x = 0.447601318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88380 ÷ 217
    88380 ÷ 131072     		y = 0.674285888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447601318359375 × 2 - 1) × π
    -0.10479736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32923063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674285888671875 × 2 - 1) × π
    -0.34857177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.09507053492056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32923063} λ = -0.32923063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09507053492056))-π/2
    2×atan(0.334516011056183)-π/2
    2×0.322814586423419-π/2
    0.645629172846839-1.57079632675     		φ = -0.92516715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32923063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.863526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92516715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.008173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58668 KachelY 88380 -0.32923063 -0.92516715 -18.863526 -53.008173
    Oben rechts KachelX + 1 58669 KachelY 88380 -0.32918269 -0.92516715 -18.860779 -53.008173
    Unten links KachelX 58668 KachelY + 1 88381 -0.32923063 -0.92519600 -18.863526 -53.009826
    Unten rechts KachelX + 1 58669 KachelY + 1 88381 -0.32918269 -0.92519600 -18.860779 -53.009826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92516715--0.92519600) × R
    2.88499999999692e-05 × 6371000     		dl = 183.803349999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92516715--0.92519600) × R
    2.88499999999692e-05 × 6371000     		dr = 183.803349999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32923063--0.32918269) × cos(-0.92516715) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.6017010945148 × 6371000     		do = 183.775002051085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32923063--0.32918269) × cos(-0.92519600) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.601678051153489 × 6371000     		du = 183.767964015404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92516715)-sin(-0.92519600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6017010945148-0.601678051153489)×R²
    abs(-0.32918269--0.32923063)×2.30433613113146e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30433613113146e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30433613113146e-05×40589641000000     		ar = 33777.8142182049m²