Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58668 / 87929
↖ ↑ ↗
← S 52.256390°
W 18.863526°		 ← 186.96 m → S 52.256390°
W 18.860779°		 →
↑
186.99 m
↓
↑
186.99 m
↓
S 52.258072°
W 18.863526°		 ← 186.95 m →
34 959 m²		 S 52.258072°
W 18.860779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447605133056641 y=0.670848846435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447605133056641 × 217)
    floor (0.447605133056641 × 131072)
    floor (58668.5)     		tx = 58668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670848846435547 × 217)
    floor (0.670848846435547 × 131072)
    floor (87929.5)     		ty = 87929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58668 / 87929 ti = "17/58668/87929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58668/87929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58668 ÷ 217
    58668 ÷ 131072     		x = 0.447601318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87929 ÷ 217
    87929 ÷ 131072     		y = 0.670845031738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447601318359375 × 2 - 1) × π
    -0.10479736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32923063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670845031738281 × 2 - 1) × π
    -0.341690063476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.07345099319192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32923063} λ = -0.32923063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07345099319192))-π/2
    2×atan(0.341826837517725)-π/2
    2×0.329375132218044-π/2
    0.658750264436087-1.57079632675     		φ = -0.91204606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32923063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.863526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91204606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.256390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58668 KachelY 87929 -0.32923063 -0.91204606 -18.863526 -52.256390
    Oben rechts KachelX + 1 58669 KachelY 87929 -0.32918269 -0.91204606 -18.860779 -52.256390
    Unten links KachelX 58668 KachelY + 1 87930 -0.32923063 -0.91207541 -18.863526 -52.258072
    Unten rechts KachelX + 1 58669 KachelY + 1 87930 -0.32918269 -0.91207541 -18.860779 -52.258072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91204606--0.91207541) × R
    2.93500000000391e-05 × 6371000     		dl = 186.988850000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91204606--0.91207541) × R
    2.93500000000391e-05 × 6371000     		dr = 186.988850000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32923063--0.32918269) × cos(-0.91204606) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.612129093913923 × 6371000     		do = 186.959981484283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32923063--0.32918269) × cos(-0.91207541) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.612105884907469 × 6371000     		du = 186.952892856313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91204606)-sin(-0.91207541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612129093913923-0.612105884907469)×R²
    abs(-0.32918269--0.32923063)×2.32090064531398e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32090064531398e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32090064531398e-05×40589641000000     		ar = 34958.7691890262m²