Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58667 / 88234
↖ ↑ ↗
← S 52.766216°
W 18.866272°		 ← 184.77 m → S 52.766216°
W 18.863526°		 →
↑
184.76 m
↓
↑
184.76 m
↓
S 52.767877°
W 18.866272°		 ← 184.76 m →
34 136 m²		 S 52.767877°
W 18.863526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447597503662109 y=0.673175811767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447597503662109 × 217)
    floor (0.447597503662109 × 131072)
    floor (58667.5)     		tx = 58667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673175811767578 × 217)
    floor (0.673175811767578 × 131072)
    floor (88234.5)     		ty = 88234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58667 / 88234 ti = "17/58667/88234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58667/88234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58667 ÷ 217
    58667 ÷ 131072     		x = 0.447593688964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88234 ÷ 217
    88234 ÷ 131072     		y = 0.673171997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447593688964844 × 2 - 1) × π
    -0.104812622070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.32927856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673171997070312 × 2 - 1) × π
    -0.346343994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.08807174757603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32927856} λ = -0.32927856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08807174757603))-π/2
    2×atan(0.336865429430571)-π/2
    2×0.324926065336051-π/2
    0.649852130672103-1.57079632675     		φ = -0.92094420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32927856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.866272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92094420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.766216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58667 KachelY 88234 -0.32927856 -0.92094420 -18.866272 -52.766216
    Oben rechts KachelX + 1 58668 KachelY 88234 -0.32923063 -0.92094420 -18.863526 -52.766216
    Unten links KachelX 58667 KachelY + 1 88235 -0.32927856 -0.92097320 -18.866272 -52.767877
    Unten rechts KachelX + 1 58668 KachelY + 1 88235 -0.32923063 -0.92097320 -18.863526 -52.767877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92094420--0.92097320) × R
    2.90000000000568e-05 × 6371000     		dl = 184.759000000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92094420--0.92097320) × R
    2.90000000000568e-05 × 6371000     		dr = 184.759000000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32927856--0.32923063) × cos(-0.92094420) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.605068679656997 × 6371000     		do = 184.765000309379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32927856--0.32923063) × cos(-0.92097320) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.605045590377428 × 6371000     		du = 184.757949720099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92094420)-sin(-0.92097320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605068679656997-0.605045590377428)×R²
    abs(-0.32923063--0.32927856)×2.30892795685111e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.30892795685111e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.30892795685111e-05×40589641000000     		ar = 34136.3453647364m²