Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58666 / 88385
↖ ↑ ↗
← S 53.016436°
W 18.869019°		 ← 183.74 m → S 53.016436°
W 18.866272°		 →
↑
183.74 m
↓
↑
183.74 m
↓
S 53.018088°
W 18.869019°		 ← 183.73 m →
33 760 m²		 S 53.018088°
W 18.866272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447589874267578 y=0.674327850341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447589874267578 × 217)
    floor (0.447589874267578 × 131072)
    floor (58666.5)     		tx = 58666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674327850341797 × 217)
    floor (0.674327850341797 × 131072)
    floor (88385.5)     		ty = 88385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58666 / 88385 ti = "17/58666/88385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58666/88385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58666 ÷ 217
    58666 ÷ 131072     		x = 0.447586059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88385 ÷ 217
    88385 ÷ 131072     		y = 0.674324035644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447586059570312 × 2 - 1) × π
    -0.104827880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32932650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674324035644531 × 2 - 1) × π
    -0.348648071289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.09531021941866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32932650} λ = -0.32932650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09531021941866))-π/2
    2×atan(0.334435842361947)-π/2
    2×0.322742484113518-π/2
    0.645484968227037-1.57079632675     		φ = -0.92531136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32932650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.869019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92531136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.016436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58666 KachelY 88385 -0.32932650 -0.92531136 -18.869019 -53.016436
    Oben rechts KachelX + 1 58667 KachelY 88385 -0.32927856 -0.92531136 -18.866272 -53.016436
    Unten links KachelX 58666 KachelY + 1 88386 -0.32932650 -0.92534020 -18.869019 -53.018088
    Unten rechts KachelX + 1 58667 KachelY + 1 88386 -0.32927856 -0.92534020 -18.866272 -53.018088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92531136--0.92534020) × R
    2.88399999999189e-05 × 6371000     		dl = 183.739639999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92531136--0.92534020) × R
    2.88399999999189e-05 × 6371000     		dr = 183.739639999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32932650--0.32927856) × cos(-0.92531136) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.601585904652859 × 6371000     		do = 183.739820102261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32932650--0.32927856) × cos(-0.92534020) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.601562866776737 × 6371000     		du = 183.732783741899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92531136)-sin(-0.92534020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601585904652859-0.601562866776737)×R²
    abs(-0.32927856--0.32932650)×2.30378761214567e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30378761214567e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30378761214567e-05×40589641000000     		ar = 33759.6419723891m²