Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58666 / 88222
↖ ↑ ↗
← S 52.746268°
W 18.869019°		 ← 184.89 m → S 52.746268°
W 18.866272°		 →
↑
184.89 m
↓
↑
184.89 m
↓
S 52.747931°
W 18.869019°		 ← 184.88 m →
34 183 m²		 S 52.747931°
W 18.866272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447589874267578 y=0.673084259033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447589874267578 × 217)
    floor (0.447589874267578 × 131072)
    floor (58666.5)     		tx = 58666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673084259033203 × 217)
    floor (0.673084259033203 × 131072)
    floor (88222.5)     		ty = 88222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58666 / 88222 ti = "17/58666/88222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58666/88222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58666 ÷ 217
    58666 ÷ 131072     		x = 0.447586059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88222 ÷ 217
    88222 ÷ 131072     		y = 0.673080444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447586059570312 × 2 - 1) × π
    -0.104827880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32932650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673080444335938 × 2 - 1) × π
    -0.346160888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.08749650478059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32932650} λ = -0.32932650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08749650478059))-π/2
    2×atan(0.337059264587678)-π/2
    2×0.325100135891284-π/2
    0.650200271782568-1.57079632675     		φ = -0.92059605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32932650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.869019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92059605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.746268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58666 KachelY 88222 -0.32932650 -0.92059605 -18.869019 -52.746268
    Oben rechts KachelX + 1 58667 KachelY 88222 -0.32927856 -0.92059605 -18.866272 -52.746268
    Unten links KachelX 58666 KachelY + 1 88223 -0.32932650 -0.92062507 -18.869019 -52.747931
    Unten rechts KachelX + 1 58667 KachelY + 1 88223 -0.32927856 -0.92062507 -18.866272 -52.747931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92059605--0.92062507) × R
    2.90200000000462e-05 × 6371000     		dl = 184.886420000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92059605--0.92062507) × R
    2.90200000000462e-05 × 6371000     		dr = 184.886420000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32932650--0.32927856) × cos(-0.92059605) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.605345830709362 × 6371000     		do = 184.888198300415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32932650--0.32927856) × cos(-0.92062507) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.605322731620459 × 6371000     		du = 184.881143244093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92059605)-sin(-0.92062507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605345830709362-0.605322731620459)×R²
    abs(-0.32927856--0.32932650)×2.30990889034111e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30990889034111e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30990889034111e-05×40589641000000     		ar = 34182.6648945793m²