Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58665 / 89790
↖ ↑ ↗
← S 55.275986°
W 18.871765°		 ← 173.98 m → S 55.275986°
W 18.869019°		 →
↑
173.93 m
↓
↑
173.93 m
↓
S 55.277551°
W 18.871765°		 ← 173.97 m →
30 259 m²		 S 55.277551°
W 18.869019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447582244873047 y=0.685047149658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447582244873047 × 217)
    floor (0.447582244873047 × 131072)
    floor (58665.5)     		tx = 58665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685047149658203 × 217)
    floor (0.685047149658203 × 131072)
    floor (89790.5)     		ty = 89790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58665 / 89790 ti = "17/58665/89790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58665/89790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58665 ÷ 217
    58665 ÷ 131072     		x = 0.447578430175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89790 ÷ 217
    89790 ÷ 131072     		y = 0.685043334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447578430175781 × 2 - 1) × π
    -0.104843139648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.32937444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685043334960938 × 2 - 1) × π
    -0.370086669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16266156338484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32937444} λ = -0.32937444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16266156338484))-π/2
    2×atan(0.312652926912934)-π/2
    2×0.303024183624273-π/2
    0.606048367248546-1.57079632675     		φ = -0.96474796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32937444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.871765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96474796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.275986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58665 KachelY 89790 -0.32937444 -0.96474796 -18.871765 -55.275986
    Oben rechts KachelX + 1 58666 KachelY 89790 -0.32932650 -0.96474796 -18.869019 -55.275986
    Unten links KachelX 58665 KachelY + 1 89791 -0.32937444 -0.96477526 -18.871765 -55.277551
    Unten rechts KachelX + 1 58666 KachelY + 1 89791 -0.32932650 -0.96477526 -18.869019 -55.277551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96474796--0.96477526) × R
    2.73000000000634e-05 × 6371000     		dl = 173.928300000404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96474796--0.96477526) × R
    2.73000000000634e-05 × 6371000     		dr = 173.928300000404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32937444--0.32932650) × cos(-0.96474796) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.569624047433364 × 6371000     		do = 173.977846209016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32937444--0.32932650) × cos(-0.96477526) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.569601609204377 × 6371000     		du = 173.970992996323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96474796)-sin(-0.96477526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569624047433364-0.569601609204377)×R²
    abs(-0.32932650--0.32937444)×2.24382289879532e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24382289879532e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24382289879532e-05×40589641000000     		ar = 30259.0750468407m²