Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58665 / 87921
↖ ↑ ↗
← S 52.242938°
W 18.871765°		 ← 187.02 m → S 52.242938°
W 18.869019°		 →
↑
186.99 m
↓
↑
186.99 m
↓
S 52.244620°
W 18.871765°		 ← 187.01 m →
34 969 m²		 S 52.244620°
W 18.869019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447582244873047 y=0.670787811279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447582244873047 × 217)
    floor (0.447582244873047 × 131072)
    floor (58665.5)     		tx = 58665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670787811279297 × 217)
    floor (0.670787811279297 × 131072)
    floor (87921.5)     		ty = 87921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58665 / 87921 ti = "17/58665/87921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58665/87921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58665 ÷ 217
    58665 ÷ 131072     		x = 0.447578430175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87921 ÷ 217
    87921 ÷ 131072     		y = 0.670783996582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447578430175781 × 2 - 1) × π
    -0.104843139648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.32937444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670783996582031 × 2 - 1) × π
    -0.341567993164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.07306749799496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32937444} λ = -0.32937444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07306749799496))-π/2
    2×atan(0.34195795160731)-π/2
    2×0.329492524299108-π/2
    0.658985048598216-1.57079632675     		φ = -0.91181128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32937444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.871765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91181128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.242938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58665 KachelY 87921 -0.32937444 -0.91181128 -18.871765 -52.242938
    Oben rechts KachelX + 1 58666 KachelY 87921 -0.32932650 -0.91181128 -18.869019 -52.242938
    Unten links KachelX 58665 KachelY + 1 87922 -0.32937444 -0.91184063 -18.871765 -52.244620
    Unten rechts KachelX + 1 58666 KachelY + 1 87922 -0.32932650 -0.91184063 -18.869019 -52.244620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91181128--0.91184063) × R
    2.93500000000391e-05 × 6371000     		dl = 186.988850000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91181128--0.91184063) × R
    2.93500000000391e-05 × 6371000     		dr = 186.988850000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32937444--0.32932650) × cos(-0.91181128) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.612314731168722 × 6371000     		do = 187.016679879986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32937444--0.32932650) × cos(-0.91184063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.612291526380884 × 6371000     		du = 187.009592540488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91181128)-sin(-0.91184063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612314731168722-0.612291526380884)×R²
    abs(-0.32932650--0.32937444)×2.32047878386821e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32047878386821e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32047878386821e-05×40589641000000     		ar = 34969.3712774563m²