Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58664 / 88042
↖ ↑ ↗
← S 52.445966°
W 18.874511°		 ← 186.12 m → S 52.445966°
W 18.871765°		 →
↑
186.16 m
↓
↑
186.16 m
↓
S 52.447640°
W 18.874511°		 ← 186.11 m →
34 648 m²		 S 52.447640°
W 18.871765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447574615478516 y=0.671710968017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447574615478516 × 217)
    floor (0.447574615478516 × 131072)
    floor (58664.5)     		tx = 58664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671710968017578 × 217)
    floor (0.671710968017578 × 131072)
    floor (88042.5)     		ty = 88042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58664 / 88042 ti = "17/58664/88042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58664/88042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58664 ÷ 217
    58664 ÷ 131072     		x = 0.44757080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88042 ÷ 217
    88042 ÷ 131072     		y = 0.671707153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44757080078125 × 2 - 1) × π
    -0.1048583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32942237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671707153320312 × 2 - 1) × π
    -0.343414306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.07886786284898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32942237} λ = -0.32942237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07886786284898))-π/2
    2×atan(0.339980212073651)-π/2
    2×0.327720769199268-π/2
    0.655441538398537-1.57079632675     		φ = -0.91535479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32942237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.874511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91535479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.445966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58664 KachelY 88042 -0.32942237 -0.91535479 -18.874511 -52.445966
    Oben rechts KachelX + 1 58665 KachelY 88042 -0.32937444 -0.91535479 -18.871765 -52.445966
    Unten links KachelX 58664 KachelY + 1 88043 -0.32942237 -0.91538401 -18.874511 -52.447640
    Unten rechts KachelX + 1 58665 KachelY + 1 88043 -0.32937444 -0.91538401 -18.871765 -52.447640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91535479--0.91538401) × R
    2.9220000000052e-05 × 6371000     		dl = 186.160620000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91535479--0.91538401) × R
    2.9220000000052e-05 × 6371000     		dr = 186.160620000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32942237--0.32937444) × cos(-0.91535479) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.60950934377917 × 6371000     		do = 186.121010520489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32942237--0.32937444) × cos(-0.91538401) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.609486178519964 × 6371000     		du = 186.113936729912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91535479)-sin(-0.91538401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60950934377917-0.609486178519964)×R²
    abs(-0.32937444--0.32942237)×2.31652592064258e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31652592064258e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31652592064258e-05×40589641000000     		ar = 34647.7442854095m²