Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58664 / 88037
↖ ↑ ↗
← S 52.437595°
W 18.874511°		 ← 186.16 m → S 52.437595°
W 18.871765°		 →
↑
186.22 m
↓
↑
186.22 m
↓
S 52.439269°
W 18.874511°		 ← 186.15 m →
34 666 m²		 S 52.439269°
W 18.871765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447574615478516 y=0.671672821044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447574615478516 × 217)
    floor (0.447574615478516 × 131072)
    floor (58664.5)     		tx = 58664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671672821044922 × 217)
    floor (0.671672821044922 × 131072)
    floor (88037.5)     		ty = 88037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58664 / 88037 ti = "17/58664/88037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58664/88037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58664 ÷ 217
    58664 ÷ 131072     		x = 0.44757080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88037 ÷ 217
    88037 ÷ 131072     		y = 0.671669006347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44757080078125 × 2 - 1) × π
    -0.1048583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32942237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671669006347656 × 2 - 1) × π
    -0.343338012695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.07862817835088
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32942237} λ = -0.32942237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07862817835088))-π/2
    2×atan(0.340061709826629)-π/2
    2×0.327793821110062-π/2
    0.655587642220124-1.57079632675     		φ = -0.91520868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32942237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.874511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91520868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.437595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58664 KachelY 88037 -0.32942237 -0.91520868 -18.874511 -52.437595
    Oben rechts KachelX + 1 58665 KachelY 88037 -0.32937444 -0.91520868 -18.871765 -52.437595
    Unten links KachelX 58664 KachelY + 1 88038 -0.32942237 -0.91523791 -18.874511 -52.439269
    Unten rechts KachelX + 1 58665 KachelY + 1 88038 -0.32937444 -0.91523791 -18.871765 -52.439269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91520868--0.91523791) × R
    2.92299999999912e-05 × 6371000     		dl = 186.224329999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91520868--0.91523791) × R
    2.92299999999912e-05 × 6371000     		dr = 186.224329999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32942237--0.32937444) × cos(-0.91520868) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.609625170195642 × 6371000     		do = 186.156379510151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32942237--0.32937444) × cos(-0.91523791) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.609601999611756 × 6371000     		du = 186.149304093619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91520868)-sin(-0.91523791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609625170195642-0.609601999611756)×R²
    abs(-0.32937444--0.32942237)×2.31705838859009e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31705838859009e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31705838859009e-05×40589641000000     		ar = 34666.1882444271m²