Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58663 / 88060
↖ ↑ ↗
← S 52.476089°
W 18.877258°		 ← 186.03 m → S 52.476089°
W 18.874511°		 →
↑
186.03 m
↓
↑
186.03 m
↓
S 52.477762°
W 18.877258°		 ← 186.03 m →
34 608 m²		 S 52.477762°
W 18.874511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447566986083984 y=0.671848297119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447566986083984 × 217)
    floor (0.447566986083984 × 131072)
    floor (58663.5)     		tx = 58663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671848297119141 × 217)
    floor (0.671848297119141 × 131072)
    floor (88060.5)     		ty = 88060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58663 / 88060 ti = "17/58663/88060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58663/88060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58663 ÷ 217
    58663 ÷ 131072     		x = 0.447563171386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88060 ÷ 217
    88060 ÷ 131072     		y = 0.671844482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447563171386719 × 2 - 1) × π
    -0.104873657226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.32947031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671844482421875 × 2 - 1) × π
    -0.34368896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07973072704214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32947031} λ = -0.32947031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07973072704214))-π/2
    2×atan(0.339686981849393)-π/2
    2×0.327457897237179-π/2
    0.654915794474358-1.57079632675     		φ = -0.91588053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32947031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.877258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91588053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.476089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58663 KachelY 88060 -0.32947031 -0.91588053 -18.877258 -52.476089
    Oben rechts KachelX + 1 58664 KachelY 88060 -0.32942237 -0.91588053 -18.874511 -52.476089
    Unten links KachelX 58663 KachelY + 1 88061 -0.32947031 -0.91590973 -18.877258 -52.477762
    Unten rechts KachelX + 1 58664 KachelY + 1 88061 -0.32942237 -0.91590973 -18.874511 -52.477762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91588053--0.91590973) × R
    2.91999999999515e-05 × 6371000     		dl = 186.033199999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91588053--0.91590973) × R
    2.91999999999515e-05 × 6371000     		dr = 186.033199999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32947031--0.32942237) × cos(-0.91588053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609092463992623 × 6371000     		do = 186.032516543248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32947031--0.32942237) × cos(-0.91590973) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609069305235779 × 6371000     		du = 186.025443262802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91588053)-sin(-0.91590973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609092463992623-0.609069305235779)×R²
    abs(-0.32942237--0.32947031)×2.31587568436664e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31587568436664e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31587568436664e-05×40589641000000     		ar = 34607.5664264197m²