Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58661 / 88342
↖ ↑ ↗
← S 52.945328°
W 18.882751°		 ← 184 m → S 52.945328°
W 18.880005°		 →
↑
183.99 m
↓
↑
183.99 m
↓
S 52.946983°
W 18.882751°		 ← 184 m →
33 855 m²		 S 52.946983°
W 18.880005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447551727294922 y=0.673999786376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447551727294922 × 217)
    floor (0.447551727294922 × 131072)
    floor (58661.5)     		tx = 58661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673999786376953 × 217)
    floor (0.673999786376953 × 131072)
    floor (88342.5)     		ty = 88342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58661 / 88342 ti = "17/58661/88342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58661/88342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58661 ÷ 217
    58661 ÷ 131072     		x = 0.447547912597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88342 ÷ 217
    88342 ÷ 131072     		y = 0.673995971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447547912597656 × 2 - 1) × π
    -0.104904174804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32956618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673995971679688 × 2 - 1) × π
    -0.347991943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.093248932735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32956618} λ = -0.32956618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.093248932735))-π/2
    2×atan(0.335125921491468)-π/2
    2×0.323363015197287-π/2
    0.646726030394574-1.57079632675     		φ = -0.92407030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32956618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.882751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92407030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.945328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58661 KachelY 88342 -0.32956618 -0.92407030 -18.882751 -52.945328
    Oben rechts KachelX + 1 58662 KachelY 88342 -0.32951825 -0.92407030 -18.880005 -52.945328
    Unten links KachelX 58661 KachelY + 1 88343 -0.32956618 -0.92409918 -18.882751 -52.946983
    Unten rechts KachelX + 1 58662 KachelY + 1 88343 -0.32951825 -0.92409918 -18.880005 -52.946983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92407030--0.92409918) × R
    2.88800000000089e-05 × 6371000     		dl = 183.994480000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92407030--0.92409918) × R
    2.88800000000089e-05 × 6371000     		dr = 183.994480000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32956618--0.32951825) × cos(-0.92407030) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.602576809903233 × 6371000     		do = 184.004077902875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32956618--0.32951825) × cos(-0.92409918) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.60255376165337 × 6371000     		du = 183.997039842509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92407030)-sin(-0.92409918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602576809903233-0.60255376165337)×R²
    abs(-0.32951825--0.32956618)×2.30482498636553e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.30482498636553e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.30482498636553e-05×40589641000000     		ar = 33855.0871519313m²