Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58661 / 88044
↖ ↑ ↗
← S 52.449314°
W 18.882751°		 ← 186.11 m → S 52.449314°
W 18.880005°		 →
↑
186.16 m
↓
↑
186.16 m
↓
S 52.450988°
W 18.882751°		 ← 186.10 m →
34 645 m²		 S 52.450988°
W 18.880005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447551727294922 y=0.671726226806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447551727294922 × 217)
    floor (0.447551727294922 × 131072)
    floor (58661.5)     		tx = 58661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671726226806641 × 217)
    floor (0.671726226806641 × 131072)
    floor (88044.5)     		ty = 88044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58661 / 88044 ti = "17/58661/88044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58661/88044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58661 ÷ 217
    58661 ÷ 131072     		x = 0.447547912597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88044 ÷ 217
    88044 ÷ 131072     		y = 0.671722412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447547912597656 × 2 - 1) × π
    -0.104904174804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32956618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671722412109375 × 2 - 1) × π
    -0.34344482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.07896373664822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32956618} λ = -0.32956618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07896373664822))-π/2
    2×atan(0.339947618441515)-π/2
    2×0.327691552321347-π/2
    0.655383104642695-1.57079632675     		φ = -0.91541322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32956618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.882751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91541322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.449314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58661 KachelY 88044 -0.32956618 -0.91541322 -18.882751 -52.449314
    Oben rechts KachelX + 1 58662 KachelY 88044 -0.32951825 -0.91541322 -18.880005 -52.449314
    Unten links KachelX 58661 KachelY + 1 88045 -0.32956618 -0.91544244 -18.882751 -52.450988
    Unten rechts KachelX + 1 58662 KachelY + 1 88045 -0.32951825 -0.91544244 -18.880005 -52.450988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91541322--0.91544244) × R
    2.9219999999941e-05 × 6371000     		dl = 186.160619999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91541322--0.91544244) × R
    2.9219999999941e-05 × 6371000     		dr = 186.160619999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32956618--0.32951825) × cos(-0.91541322) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.609463020668518 × 6371000     		do = 186.106865201169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32956618--0.32951825) × cos(-0.91544244) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.609439854368741 × 6371000     		du = 186.099791092841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91541322)-sin(-0.91544244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609463020668518-0.609439854368741)×R²
    abs(-0.32951825--0.32956618)×2.31662997772775e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31662997772775e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31662997772775e-05×40589641000000     		ar = 34645.1109542469m²