Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58659 / 88341
↖ ↑ ↗
← S 52.943673°
W 18.888245°		 ← 184.05 m → S 52.943673°
W 18.885498°		 →
↑
184.06 m
↓
↑
184.06 m
↓
S 52.945328°
W 18.888245°		 ← 184.04 m →
33 875 m²		 S 52.945328°
W 18.885498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447536468505859 y=0.673992156982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447536468505859 × 217)
    floor (0.447536468505859 × 131072)
    floor (58659.5)     		tx = 58659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673992156982422 × 217)
    floor (0.673992156982422 × 131072)
    floor (88341.5)     		ty = 88341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58659 / 88341 ti = "17/58659/88341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58659/88341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58659 ÷ 217
    58659 ÷ 131072     		x = 0.447532653808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88341 ÷ 217
    88341 ÷ 131072     		y = 0.673988342285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447532653808594 × 2 - 1) × π
    -0.104934692382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.32966206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673988342285156 × 2 - 1) × π
    -0.347976684570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.09320099583538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32966206} λ = -0.32966206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09320099583538))-π/2
    2×atan(0.335141986774183)-π/2
    2×0.323377458305649-π/2
    0.646754916611298-1.57079632675     		φ = -0.92404141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32966206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.888245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92404141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.943673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58659 KachelY 88341 -0.32966206 -0.92404141 -18.888245 -52.943673
    Oben rechts KachelX + 1 58660 KachelY 88341 -0.32961412 -0.92404141 -18.885498 -52.943673
    Unten links KachelX 58659 KachelY + 1 88342 -0.32966206 -0.92407030 -18.888245 -52.945328
    Unten rechts KachelX + 1 58660 KachelY + 1 88342 -0.32961412 -0.92407030 -18.885498 -52.945328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92404141--0.92407030) × R
    2.88900000000591e-05 × 6371000     		dl = 184.058190000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92404141--0.92407030) × R
    2.88900000000591e-05 × 6371000     		dr = 184.058190000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32966206--0.32961412) × cos(-0.92404141) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.60259986563095 × 6371000     		do = 184.049509884113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32966206--0.32961412) × cos(-0.92407030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602576809903233 × 6371000     		du = 184.042468071414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92404141)-sin(-0.92407030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60259986563095-0.602576809903233)×R²
    abs(-0.32961412--0.32966206)×2.30557277167698e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30557277167698e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30557277167698e-05×40589641000000     		ar = 33875.1716104405m²