Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58658 / 88343
↖ ↑ ↗
← S 52.946983°
W 18.890991°		 ← 184.04 m → S 52.946983°
W 18.888245°		 →
↑
184.06 m
↓
↑
184.06 m
↓
S 52.948638°
W 18.890991°		 ← 184.03 m →
33 873 m²		 S 52.948638°
W 18.888245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447528839111328 y=0.674007415771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447528839111328 × 217)
    floor (0.447528839111328 × 131072)
    floor (58658.5)     		tx = 58658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674007415771484 × 217)
    floor (0.674007415771484 × 131072)
    floor (88343.5)     		ty = 88343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58658 / 88343 ti = "17/58658/88343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58658/88343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58658 ÷ 217
    58658 ÷ 131072     		x = 0.447525024414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88343 ÷ 217
    88343 ÷ 131072     		y = 0.674003601074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447525024414062 × 2 - 1) × π
    -0.104949951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32971000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674003601074219 × 2 - 1) × π
    -0.348007202148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.09329686963462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32971000} λ = -0.32971000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09329686963462))-π/2
    2×atan(0.335109856978854)-π/2
    2×0.323348572641458-π/2
    0.646697145282917-1.57079632675     		φ = -0.92409918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32971000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.890991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92409918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.946983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58658 KachelY 88343 -0.32971000 -0.92409918 -18.890991 -52.946983
    Oben rechts KachelX + 1 58659 KachelY 88343 -0.32966206 -0.92409918 -18.888245 -52.946983
    Unten links KachelX 58658 KachelY + 1 88344 -0.32971000 -0.92412807 -18.890991 -52.948638
    Unten rechts KachelX + 1 58659 KachelY + 1 88344 -0.32966206 -0.92412807 -18.888245 -52.948638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92409918--0.92412807) × R
    2.88899999999481e-05 × 6371000     		dl = 184.05818999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92409918--0.92412807) × R
    2.88899999999481e-05 × 6371000     		dr = 184.05818999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32971000--0.32966206) × cos(-0.92409918) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.60255376165337 × 6371000     		do = 184.035428542856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32971000--0.32966206) × cos(-0.92412807) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.602530704919987 × 6371000     		du = 184.028386423001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92409918)-sin(-0.92412807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60255376165337-0.602530704919987)×R²
    abs(-0.32966206--0.32971000)×2.30567333832088e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30567333832088e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30567333832088e-05×40589641000000     		ar = 33872.5797957858m²