Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58657 / 88051
↖ ↑ ↗
← S 52.461030°
W 18.893738°		 ← 186.06 m → S 52.461030°
W 18.890991°		 →
↑
186.03 m
↓
↑
186.03 m
↓
S 52.462703°
W 18.893738°		 ← 186.05 m →
34 612 m²		 S 52.462703°
W 18.890991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447521209716797 y=0.671779632568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447521209716797 × 217)
    floor (0.447521209716797 × 131072)
    floor (58657.5)     		tx = 58657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671779632568359 × 217)
    floor (0.671779632568359 × 131072)
    floor (88051.5)     		ty = 88051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58657 / 88051 ti = "17/58657/88051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58657/88051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58657 ÷ 217
    58657 ÷ 131072     		x = 0.447517395019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88051 ÷ 217
    88051 ÷ 131072     		y = 0.671775817871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447517395019531 × 2 - 1) × π
    -0.104965209960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.32975793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671775817871094 × 2 - 1) × π
    -0.343551635742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.07929929494556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32975793} λ = -0.32975793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07929929494556))-π/2
    2×atan(0.33983356533429)-π/2
    2×0.32758931073614-π/2
    0.655178621472281-1.57079632675     		φ = -0.91561771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32975793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.893738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91561771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.461030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58657 KachelY 88051 -0.32975793 -0.91561771 -18.893738 -52.461030
    Oben rechts KachelX + 1 58658 KachelY 88051 -0.32971000 -0.91561771 -18.890991 -52.461030
    Unten links KachelX 58657 KachelY + 1 88052 -0.32975793 -0.91564691 -18.893738 -52.462703
    Unten rechts KachelX + 1 58658 KachelY + 1 88052 -0.32971000 -0.91564691 -18.890991 -52.462703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91561771--0.91564691) × R
    2.91999999999515e-05 × 6371000     		dl = 186.033199999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91561771--0.91564691) × R
    2.91999999999515e-05 × 6371000     		dr = 186.033199999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32975793--0.32971000) × cos(-0.91561771) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.609300885290483 × 6371000     		do = 186.057355212997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32975793--0.32971000) × cos(-0.91564691) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.609277731208735 × 6371000     		du = 186.050284835592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91561771)-sin(-0.91564691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609300885290483-0.609277731208735)×R²
    abs(-0.32971000--0.32975793)×2.31540817478004e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31540817478004e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31540817478004e-05×40589641000000     		ar = 34612.1875137031m²