Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58656 / 88280
↖ ↑ ↗
← S 52.842595°
W 18.896484°		 ← 184.48 m → S 52.842595°
W 18.893738°		 →
↑
184.44 m
↓
↑
184.44 m
↓
S 52.844253°
W 18.896484°		 ← 184.47 m →
34 025 m²		 S 52.844253°
W 18.893738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447513580322266 y=0.673526763916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447513580322266 × 217)
    floor (0.447513580322266 × 131072)
    floor (58656.5)     		tx = 58656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673526763916016 × 217)
    floor (0.673526763916016 × 131072)
    floor (88280.5)     		ty = 88280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58656 / 88280 ti = "17/58656/88280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58656/88280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58656 ÷ 217
    58656 ÷ 131072     		x = 0.447509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88280 ÷ 217
    88280 ÷ 131072     		y = 0.67352294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447509765625 × 2 - 1) × π
    -0.10498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32980587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67352294921875 × 2 - 1) × π
    -0.3470458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.09027684495856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32980587} λ = -0.32980587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09027684495856))-π/2
    2×atan(0.33612342674862)-π/2
    2×0.324259533115827-π/2
    0.648519066231655-1.57079632675     		φ = -0.92227726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32980587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.896484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92227726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.842595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58656 KachelY 88280 -0.32980587 -0.92227726 -18.896484 -52.842595
    Oben rechts KachelX + 1 58657 KachelY 88280 -0.32975793 -0.92227726 -18.893738 -52.842595
    Unten links KachelX 58656 KachelY + 1 88281 -0.32980587 -0.92230621 -18.896484 -52.844253
    Unten rechts KachelX + 1 58657 KachelY + 1 88281 -0.32975793 -0.92230621 -18.893738 -52.844253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92227726--0.92230621) × R
    2.89500000000276e-05 × 6371000     		dl = 184.440450000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92227726--0.92230621) × R
    2.89500000000276e-05 × 6371000     		dr = 184.440450000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32980587--0.32975793) × cos(-0.92227726) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.604006795599517 × 6371000     		do = 184.479222511104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32980587--0.32975793) × cos(-0.92230621) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.603983722799558 × 6371000     		du = 184.472175484103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92227726)-sin(-0.92230621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604006795599517-0.603983722799558)×R²
    abs(-0.32975793--0.32980587)×2.30727999591673e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30727999591673e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30727999591673e-05×40589641000000     		ar = 34024.7809395763m²