Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58653 / 88265
↖ ↑ ↗
← S 52.817703°
W 18.904724°		 ← 184.58 m → S 52.817703°
W 18.901977°		 →
↑
184.57 m
↓
↑
184.57 m
↓
S 52.819363°
W 18.904724°		 ← 184.58 m →
34 068 m²		 S 52.819363°
W 18.901977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447490692138672 y=0.673412322998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447490692138672 × 217)
    floor (0.447490692138672 × 131072)
    floor (58653.5)     		tx = 58653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673412322998047 × 217)
    floor (0.673412322998047 × 131072)
    floor (88265.5)     		ty = 88265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58653 / 88265 ti = "17/58653/88265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58653/88265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58653 ÷ 217
    58653 ÷ 131072     		x = 0.447486877441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88265 ÷ 217
    88265 ÷ 131072     		y = 0.673408508300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447486877441406 × 2 - 1) × π
    -0.105026245117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.32994968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673408508300781 × 2 - 1) × π
    -0.346817016601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.08955779146426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32994968} λ = -0.32994968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08955779146426))-π/2
    2×atan(0.336365204388251)-π/2
    2×0.324476751942238-π/2
    0.648953503884475-1.57079632675     		φ = -0.92184282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32994968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.904724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92184282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.817703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58653 KachelY 88265 -0.32994968 -0.92184282 -18.904724 -52.817703
    Oben rechts KachelX + 1 58654 KachelY 88265 -0.32990174 -0.92184282 -18.901977 -52.817703
    Unten links KachelX 58653 KachelY + 1 88266 -0.32994968 -0.92187179 -18.904724 -52.819363
    Unten rechts KachelX + 1 58654 KachelY + 1 88266 -0.32990174 -0.92187179 -18.901977 -52.819363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92184282--0.92187179) × R
    2.8970000000017e-05 × 6371000     		dl = 184.567870000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92184282--0.92187179) × R
    2.8970000000017e-05 × 6371000     		dr = 184.567870000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32994968--0.32990174) × cos(-0.92184282) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.604352978217906 × 6371000     		do = 184.584955593501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32994968--0.32990174) × cos(-0.92187179) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.604329897081912 × 6371000     		du = 184.577906020459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92184282)-sin(-0.92187179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604352978217906-0.604329897081912)×R²
    abs(-0.32990174--0.32994968)×2.30811359944738e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30811359944738e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30811359944738e-05×40589641000000     		ar = 34067.8015281746m²