Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58652 / 88036
↖ ↑ ↗
← S 52.435921°
W 18.907471°		 ← 186.20 m → S 52.435921°
W 18.904724°		 →
↑
186.16 m
↓
↑
186.16 m
↓
S 52.437595°
W 18.907471°		 ← 186.20 m →
34 663 m²		 S 52.437595°
W 18.904724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447483062744141 y=0.671665191650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447483062744141 × 217)
    floor (0.447483062744141 × 131072)
    floor (58652.5)     		tx = 58652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671665191650391 × 217)
    floor (0.671665191650391 × 131072)
    floor (88036.5)     		ty = 88036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58652 / 88036 ti = "17/58652/88036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58652/88036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58652 ÷ 217
    58652 ÷ 131072     		x = 0.447479248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88036 ÷ 217
    88036 ÷ 131072     		y = 0.671661376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447479248046875 × 2 - 1) × π
    -0.10504150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32999762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671661376953125 × 2 - 1) × π
    -0.34332275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.07858024145126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32999762} λ = -0.32999762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07858024145126))-π/2
    2×atan(0.340078011721406)-π/2
    2×0.327808433157888-π/2
    0.655616866315777-1.57079632675     		φ = -0.91517946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32999762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.907471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91517946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.435921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58652 KachelY 88036 -0.32999762 -0.91517946 -18.907471 -52.435921
    Oben rechts KachelX + 1 58653 KachelY 88036 -0.32994968 -0.91517946 -18.904724 -52.435921
    Unten links KachelX 58652 KachelY + 1 88037 -0.32999762 -0.91520868 -18.907471 -52.437595
    Unten rechts KachelX + 1 58653 KachelY + 1 88037 -0.32994968 -0.91520868 -18.904724 -52.437595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91517946--0.91520868) × R
    2.9220000000052e-05 × 6371000     		dl = 186.160620000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91517946--0.91520868) × R
    2.9220000000052e-05 × 6371000     		dr = 186.160620000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32999762--0.32994968) × cos(-0.91517946) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609648332331948 × 6371000     		do = 186.202293042129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32999762--0.32994968) × cos(-0.91520868) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609625170195642 × 6371000     		du = 186.195218729508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91517946)-sin(-0.91520868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609648332331948-0.609625170195642)×R²
    abs(-0.32994968--0.32999762)×2.31621363063761e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31621363063761e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31621363063761e-05×40589641000000     		ar = 34662.8758415476m²