Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58651 / 88464
↖ ↑ ↗
← S 53.146770°
W 18.910217°		 ← 183.15 m → S 53.146770°
W 18.907471°		 →
↑
183.17 m
↓
↑
183.17 m
↓
S 53.148418°
W 18.910217°		 ← 183.14 m →
33 546 m²		 S 53.148418°
W 18.907471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447475433349609 y=0.674930572509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447475433349609 × 217)
    floor (0.447475433349609 × 131072)
    floor (58651.5)     		tx = 58651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674930572509766 × 217)
    floor (0.674930572509766 × 131072)
    floor (88464.5)     		ty = 88464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58651 / 88464 ti = "17/58651/88464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58651/88464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58651 ÷ 217
    58651 ÷ 131072     		x = 0.447471618652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88464 ÷ 217
    88464 ÷ 131072     		y = 0.6749267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447471618652344 × 2 - 1) × π
    -0.105056762695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.33004555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6749267578125 × 2 - 1) × π
    -0.349853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.09909723448865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33004555} λ = -0.33004555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09909723448865))-π/2
    2×atan(0.33317172391556)-π/2
    2×0.321605098869577-π/2
    0.643210197739155-1.57079632675     		φ = -0.92758613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33004555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.910217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92758613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.146770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58651 KachelY 88464 -0.33004555 -0.92758613 -18.910217 -53.146770
    Oben rechts KachelX + 1 58652 KachelY 88464 -0.32999762 -0.92758613 -18.907471 -53.146770
    Unten links KachelX 58651 KachelY + 1 88465 -0.33004555 -0.92761488 -18.910217 -53.148418
    Unten rechts KachelX + 1 58652 KachelY + 1 88465 -0.32999762 -0.92761488 -18.907471 -53.148418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92758613--0.92761488) × R
    2.87500000000218e-05 × 6371000     		dl = 183.166250000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92758613--0.92761488) × R
    2.87500000000218e-05 × 6371000     		dr = 183.166250000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33004555--0.32999762) × cos(-0.92758613) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.599767245015635 × 6371000     		do = 183.146143465594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33004555--0.32999762) × cos(-0.92761488) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.599744239750507 × 6371000     		du = 183.139118531134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92758613)-sin(-0.92761488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599767245015635-0.599744239750507)×R²
    abs(-0.32999762--0.33004555)×2.30052651281065e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30052651281065e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30052651281065e-05×40589641000000     		ar = 33545.5489373053m²