Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58647 / 88274
↖ ↑ ↗
← S 52.832640°
W 18.921204°		 ← 184.52 m → S 52.832640°
W 18.918457°		 →
↑
184.50 m
↓
↑
184.50 m
↓
S 52.834299°
W 18.921204°		 ← 184.51 m →
34 044 m²		 S 52.834299°
W 18.918457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447444915771484 y=0.673480987548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447444915771484 × 217)
    floor (0.447444915771484 × 131072)
    floor (58647.5)     		tx = 58647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673480987548828 × 217)
    floor (0.673480987548828 × 131072)
    floor (88274.5)     		ty = 88274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58647 / 88274 ti = "17/58647/88274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58647/88274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58647 ÷ 217
    58647 ÷ 131072     		x = 0.447441101074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88274 ÷ 217
    88274 ÷ 131072     		y = 0.673477172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447441101074219 × 2 - 1) × π
    -0.105117797851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.33023730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673477172851562 × 2 - 1) × π
    -0.346954345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08998922356084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33023730} λ = -0.33023730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08998922356084))-π/2
    2×atan(0.336220116942846)-π/2
    2×0.324346405711164-π/2
    0.648692811422328-1.57079632675     		φ = -0.92210352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33023730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.921204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92210352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.832640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58647 KachelY 88274 -0.33023730 -0.92210352 -18.921204 -52.832640
    Oben rechts KachelX + 1 58648 KachelY 88274 -0.33018936 -0.92210352 -18.918457 -52.832640
    Unten links KachelX 58647 KachelY + 1 88275 -0.33023730 -0.92213248 -18.921204 -52.834299
    Unten rechts KachelX + 1 58648 KachelY + 1 88275 -0.33018936 -0.92213248 -18.918457 -52.834299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92210352--0.92213248) × R
    2.89600000000778e-05 × 6371000     		dl = 184.504160000496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92210352--0.92213248) × R
    2.89600000000778e-05 × 6371000     		dr = 184.504160000496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33023730--0.33018936) × cos(-0.92210352) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.604145253642953 × 6371000     		do = 184.521511161479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33023730--0.33018936) × cos(-0.92213248) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.604122175912384 × 6371000     		du = 184.514462628543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92210352)-sin(-0.92213248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604145253642953-0.604122175912384)×R²
    abs(-0.33018936--0.33023730)×2.30777305690877e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30777305690877e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30777305690877e-05×40589641000000     		ar = 34044.3361793422m²