Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58646 / 88028
↖ ↑ ↗
← S 52.422523°
W 18.923950°		 ← 186.26 m → S 52.422523°
W 18.921204°		 →
↑
186.22 m
↓
↑
186.22 m
↓
S 52.424198°
W 18.923950°		 ← 186.25 m →
34 685 m²		 S 52.424198°
W 18.921204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447437286376953 y=0.671604156494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447437286376953 × 217)
    floor (0.447437286376953 × 131072)
    floor (58646.5)     		tx = 58646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671604156494141 × 217)
    floor (0.671604156494141 × 131072)
    floor (88028.5)     		ty = 88028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58646 / 88028 ti = "17/58646/88028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58646/88028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58646 ÷ 217
    58646 ÷ 131072     		x = 0.447433471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88028 ÷ 217
    88028 ÷ 131072     		y = 0.671600341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447433471679688 × 2 - 1) × π
    -0.105133056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33028524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671600341796875 × 2 - 1) × π
    -0.34320068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0781967462543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33028524} λ = -0.33028524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0781967462543))-π/2
    2×atan(0.340208455016083)-π/2
    2×0.327925349529957-π/2
    0.655850699059914-1.57079632675     		φ = -0.91494563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33028524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.923950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91494563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.422523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58646 KachelY 88028 -0.33028524 -0.91494563 -18.923950 -52.422523
    Oben rechts KachelX + 1 58647 KachelY 88028 -0.33023730 -0.91494563 -18.921204 -52.422523
    Unten links KachelX 58646 KachelY + 1 88029 -0.33028524 -0.91497486 -18.923950 -52.424198
    Unten rechts KachelX + 1 58647 KachelY + 1 88029 -0.33023730 -0.91497486 -18.921204 -52.424198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91494563--0.91497486) × R
    2.92299999999912e-05 × 6371000     		dl = 186.224329999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91494563--0.91497486) × R
    2.92299999999912e-05 × 6371000     		dr = 186.224329999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33028524--0.33023730) × cos(-0.91494563) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609833666158977 × 6371000     		do = 186.258898763396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33028524--0.33023730) × cos(-0.91497486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609810500263182 × 6371000     		du = 186.251823302531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91494563)-sin(-0.91497486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609833666158977-0.609810500263182)×R²
    abs(-0.33023730--0.33028524)×2.31658957949854e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31658957949854e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31658957949854e-05×40589641000000     		ar = 34685.2798197848m²