Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58645 / 88322
↖ ↑ ↗
← S 52.912215°
W 18.926697°		 ← 184.18 m → S 52.912215°
W 18.923950°		 →
↑
184.19 m
↓
↑
184.19 m
↓
S 52.913871°
W 18.926697°		 ← 184.18 m →
33 923 m²		 S 52.913871°
W 18.923950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447429656982422 y=0.673847198486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447429656982422 × 217)
    floor (0.447429656982422 × 131072)
    floor (58645.5)     		tx = 58645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673847198486328 × 217)
    floor (0.673847198486328 × 131072)
    floor (88322.5)     		ty = 88322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58645 / 88322 ti = "17/58645/88322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58645/88322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58645 ÷ 217
    58645 ÷ 131072     		x = 0.447425842285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88322 ÷ 217
    88322 ÷ 131072     		y = 0.673843383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447425842285156 × 2 - 1) × π
    -0.105148315429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.33033318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673843383789062 × 2 - 1) × π
    -0.347686767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0922901947426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33033318} λ = -0.33033318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0922901947426))-π/2
    2×atan(0.335447373514151)-π/2
    2×0.323651982357896-π/2
    0.647303964715792-1.57079632675     		φ = -0.92349236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33033318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.926697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92349236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.912215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58645 KachelY 88322 -0.33033318 -0.92349236 -18.926697 -52.912215
    Oben rechts KachelX + 1 58646 KachelY 88322 -0.33028524 -0.92349236 -18.923950 -52.912215
    Unten links KachelX 58645 KachelY + 1 88323 -0.33033318 -0.92352127 -18.926697 -52.913871
    Unten rechts KachelX + 1 58646 KachelY + 1 88323 -0.33028524 -0.92352127 -18.923950 -52.913871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92349236--0.92352127) × R
    2.89099999999376e-05 × 6371000     		dl = 184.185609999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92349236--0.92352127) × R
    2.89099999999376e-05 × 6371000     		dr = 184.185609999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33033318--0.33028524) × cos(-0.92349236) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.603037940555043 × 6371000     		do = 184.183309242192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33033318--0.33028524) × cos(-0.92352127) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.603014878434491 × 6371000     		du = 184.176265476957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92349236)-sin(-0.92352127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603037940555043-0.603014878434491)×R²
    abs(-0.33028524--0.33033318)×2.30621205515869e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30621205515869e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30621205515869e-05×40589641000000     		ar = 33923.2664866184m²