Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58643 / 88318
↖ ↑ ↗
← S 52.905589°
W 18.932190°		 ← 184.21 m → S 52.905589°
W 18.929443°		 →
↑
184.19 m
↓
↑
184.19 m
↓
S 52.907245°
W 18.932190°		 ← 184.20 m →
33 928 m²		 S 52.907245°
W 18.929443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447414398193359 y=0.673816680908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447414398193359 × 217)
    floor (0.447414398193359 × 131072)
    floor (58643.5)     		tx = 58643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673816680908203 × 217)
    floor (0.673816680908203 × 131072)
    floor (88318.5)     		ty = 88318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58643 / 88318 ti = "17/58643/88318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58643/88318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58643 ÷ 217
    58643 ÷ 131072     		x = 0.447410583496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88318 ÷ 217
    88318 ÷ 131072     		y = 0.673812866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447410583496094 × 2 - 1) × π
    -0.105178833007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.33042905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673812866210938 × 2 - 1) × π
    -0.347625732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.09209844714412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33042905} λ = -0.33042905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09209844714412))-π/2
    2×atan(0.335511700909553)-π/2
    2×0.323709802317997-π/2
    0.647419604635994-1.57079632675     		φ = -0.92337672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33042905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.932190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92337672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.905589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58643 KachelY 88318 -0.33042905 -0.92337672 -18.932190 -52.905589
    Oben rechts KachelX + 1 58644 KachelY 88318 -0.33038111 -0.92337672 -18.929443 -52.905589
    Unten links KachelX 58643 KachelY + 1 88319 -0.33042905 -0.92340563 -18.932190 -52.907245
    Unten rechts KachelX + 1 58644 KachelY + 1 88319 -0.33038111 -0.92340563 -18.929443 -52.907245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92337672--0.92340563) × R
    2.89099999999376e-05 × 6371000     		dl = 184.185609999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92337672--0.92340563) × R
    2.89099999999376e-05 × 6371000     		dr = 184.185609999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33042905--0.33038111) × cos(-0.92337672) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.603130183996937 × 6371000     		do = 184.211482763693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33042905--0.33038111) × cos(-0.92340563) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.603107123892549 × 6371000     		du = 184.204439614246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92337672)-sin(-0.92340563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603130183996937-0.603107123892549)×R²
    abs(-0.33038111--0.33042905)×2.30601043882395e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30601043882395e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30601043882395e-05×40589641000000     		ar = 33928.4557007187m²