Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58640 / 87919
↖ ↑ ↗
← S 52.239574°
W 18.940430°		 ← 187.03 m → S 52.239574°
W 18.937683°		 →
↑
187.05 m
↓
↑
187.05 m
↓
S 52.241256°
W 18.940430°		 ← 187.02 m →
34 984 m²		 S 52.241256°
W 18.937683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447391510009766 y=0.670772552490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447391510009766 × 217)
    floor (0.447391510009766 × 131072)
    floor (58640.5)     		tx = 58640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670772552490234 × 217)
    floor (0.670772552490234 × 131072)
    floor (87919.5)     		ty = 87919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58640 / 87919 ti = "17/58640/87919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58640/87919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58640 ÷ 217
    58640 ÷ 131072     		x = 0.4473876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87919 ÷ 217
    87919 ÷ 131072     		y = 0.670768737792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4473876953125 × 2 - 1) × π
    -0.105224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33057286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670768737792969 × 2 - 1) × π
    -0.341537475585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.07297162419572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33057286} λ = -0.33057286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07297162419572))-π/2
    2×atan(0.341990737986964)-π/2
    2×0.329521877881438-π/2
    0.659043755762876-1.57079632675     		φ = -0.91175257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33057286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.940430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91175257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.239574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58640 KachelY 87919 -0.33057286 -0.91175257 -18.940430 -52.239574
    Oben rechts KachelX + 1 58641 KachelY 87919 -0.33052492 -0.91175257 -18.937683 -52.239574
    Unten links KachelX 58640 KachelY + 1 87920 -0.33057286 -0.91178193 -18.940430 -52.241256
    Unten rechts KachelX + 1 58641 KachelY + 1 87920 -0.33052492 -0.91178193 -18.937683 -52.241256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91175257--0.91178193) × R
    2.93599999999783e-05 × 6371000     		dl = 187.052559999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91175257--0.91178193) × R
    2.93599999999783e-05 × 6371000     		dr = 187.052559999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33057286--0.33052492) × cos(-0.91175257) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.612361147067776 × 6371000     		do = 187.030856490518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33057286--0.33052492) × cos(-0.91178193) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.612337935429099 × 6371000     		du = 187.023767058599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91175257)-sin(-0.91178193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612361147067776-0.612337935429099)×R²
    abs(-0.33052492--0.33057286)×2.32116386769121e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32116386769121e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32116386769121e-05×40589641000000     		ar = 34983.9374597235m²