Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58639 / 88267
↖ ↑ ↗
← S 52.821023°
W 18.943176°		 ← 184.57 m → S 52.821023°
W 18.940430°		 →
↑
184.57 m
↓
↑
184.57 m
↓
S 52.822683°
W 18.943176°		 ← 184.56 m →
34 065 m²		 S 52.822683°
W 18.940430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447383880615234 y=0.673427581787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447383880615234 × 217)
    floor (0.447383880615234 × 131072)
    floor (58639.5)     		tx = 58639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673427581787109 × 217)
    floor (0.673427581787109 × 131072)
    floor (88267.5)     		ty = 88267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58639 / 88267 ti = "17/58639/88267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58639/88267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58639 ÷ 217
    58639 ÷ 131072     		x = 0.447380065917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88267 ÷ 217
    88267 ÷ 131072     		y = 0.673423767089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447380065917969 × 2 - 1) × π
    -0.105239868164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.33062080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673423767089844 × 2 - 1) × π
    -0.346847534179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.0896536652635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33062080} λ = -0.33062080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0896536652635))-π/2
    2×atan(0.336332957324023)-π/2
    2×0.324447782240742-π/2
    0.648895564481483-1.57079632675     		φ = -0.92190076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33062080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.943176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92190076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.821023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58639 KachelY 88267 -0.33062080 -0.92190076 -18.943176 -52.821023
    Oben rechts KachelX + 1 58640 KachelY 88267 -0.33057286 -0.92190076 -18.940430 -52.821023
    Unten links KachelX 58639 KachelY + 1 88268 -0.33062080 -0.92192973 -18.943176 -52.822683
    Unten rechts KachelX + 1 58640 KachelY + 1 88268 -0.33057286 -0.92192973 -18.940430 -52.822683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92190076--0.92192973) × R
    2.8970000000017e-05 × 6371000     		dl = 184.567870000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92190076--0.92192973) × R
    2.8970000000017e-05 × 6371000     		dr = 184.567870000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33062080--0.33057286) × cos(-0.92190076) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604306815438727 × 6371000     		do = 184.570856292296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33062080--0.33057286) × cos(-0.92192973) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604283733288371 × 6371000     		du = 184.563806409442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92190076)-sin(-0.92192973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604306815438727-0.604283733288371)×R²
    abs(-0.33057286--0.33062080)×2.30821503561796e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30821503561796e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30821503561796e-05×40589641000000     		ar = 34065.199221501m²