Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58634 / 88364
↖ ↑ ↗
← S 52.981723°
W 18.956909°		 ← 183.89 m → S 52.981723°
W 18.954162°		 →
↑
183.87 m
↓
↑
183.87 m
↓
S 52.983377°
W 18.956909°		 ← 183.88 m →
33 810 m²		 S 52.983377°
W 18.954162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447345733642578 y=0.674167633056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447345733642578 × 217)
    floor (0.447345733642578 × 131072)
    floor (58634.5)     		tx = 58634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674167633056641 × 217)
    floor (0.674167633056641 × 131072)
    floor (88364.5)     		ty = 88364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58634 / 88364 ti = "17/58634/88364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58634/88364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58634 ÷ 217
    58634 ÷ 131072     		x = 0.447341918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88364 ÷ 217
    88364 ÷ 131072     		y = 0.674163818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447341918945312 × 2 - 1) × π
    -0.105316162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33086048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674163818359375 × 2 - 1) × π
    -0.34832763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.09430354452664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33086048} λ = -0.33086048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09430354452664))-π/2
    2×atan(0.334772680042017)-π/2
    2×0.323045406588104-π/2
    0.646090813176209-1.57079632675     		φ = -0.92470551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33086048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.956909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92470551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.981723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58634 KachelY 88364 -0.33086048 -0.92470551 -18.956909 -52.981723
    Oben rechts KachelX + 1 58635 KachelY 88364 -0.33081254 -0.92470551 -18.954162 -52.981723
    Unten links KachelX 58634 KachelY + 1 88365 -0.33086048 -0.92473437 -18.956909 -52.983377
    Unten rechts KachelX + 1 58635 KachelY + 1 88365 -0.33081254 -0.92473437 -18.954162 -52.983377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92470551--0.92473437) × R
    2.88600000000194e-05 × 6371000     		dl = 183.867060000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92470551--0.92473437) × R
    2.88600000000194e-05 × 6371000     		dr = 183.867060000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33086048--0.33081254) × cos(-0.92470551) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.602069752110408 × 6371000     		do = 183.88759957003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33086048--0.33081254) × cos(-0.92473437) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.602046708780434 × 6371000     		du = 183.880561543921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92470551)-sin(-0.92473437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602069752110408-0.602046708780434)×R²
    abs(-0.33081254--0.33086048)×2.30433299741595e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30433299741595e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30433299741595e-05×40589641000000     		ar = 33810.2252750739m²