Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58633 / 88261
↖ ↑ ↗
← S 52.811063°
W 18.959656°		 ← 184.61 m → S 52.811063°
W 18.956909°		 →
↑
184.63 m
↓
↑
184.63 m
↓
S 52.812723°
W 18.959656°		 ← 184.61 m →
34 085 m²		 S 52.812723°
W 18.956909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447338104248047 y=0.673381805419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447338104248047 × 217)
    floor (0.447338104248047 × 131072)
    floor (58633.5)     		tx = 58633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673381805419922 × 217)
    floor (0.673381805419922 × 131072)
    floor (88261.5)     		ty = 88261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58633 / 88261 ti = "17/58633/88261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58633/88261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58633 ÷ 217
    58633 ÷ 131072     		x = 0.447334289550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88261 ÷ 217
    88261 ÷ 131072     		y = 0.673377990722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447334289550781 × 2 - 1) × π
    -0.105331420898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.33090842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673377990722656 × 2 - 1) × π
    -0.346755981445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.08936604386578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33090842} λ = -0.33090842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08936604386578))-π/2
    2×atan(0.336429707792394)-π/2
    2×0.324534697984042-π/2
    0.649069395968084-1.57079632675     		φ = -0.92172693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33090842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.959656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92172693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.811063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58633 KachelY 88261 -0.33090842 -0.92172693 -18.959656 -52.811063
    Oben rechts KachelX + 1 58634 KachelY 88261 -0.33086048 -0.92172693 -18.956909 -52.811063
    Unten links KachelX 58633 KachelY + 1 88262 -0.33090842 -0.92175591 -18.959656 -52.812723
    Unten rechts KachelX + 1 58634 KachelY + 1 88262 -0.33086048 -0.92175591 -18.956909 -52.812723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92172693--0.92175591) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dl = 184.631579999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92172693--0.92175591) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dr = 184.631579999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33090842--0.33086048) × cos(-0.92172693) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604445305656059 × 6371000     		do = 184.613154769407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33090842--0.33086048) × cos(-0.92175591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604422218582554 × 6371000     		du = 184.606103382897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92172693)-sin(-0.92175591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604445305656059-0.604422218582554)×R²
    abs(-0.33086048--0.33090842)×2.30870735054012e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30870735054012e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30870735054012e-05×40589641000000     		ar = 34084.7675017682m²