Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58631 / 88323
↖ ↑ ↗
← S 52.913871°
W 18.965149°		 ← 184.18 m → S 52.913871°
W 18.962402°		 →
↑
184.19 m
↓
↑
184.19 m
↓
S 52.915527°
W 18.965149°		 ← 184.17 m →
33 922 m²		 S 52.915527°
W 18.962402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447322845458984 y=0.673854827880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447322845458984 × 217)
    floor (0.447322845458984 × 131072)
    floor (58631.5)     		tx = 58631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673854827880859 × 217)
    floor (0.673854827880859 × 131072)
    floor (88323.5)     		ty = 88323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58631 / 88323 ti = "17/58631/88323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58631/88323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58631 ÷ 217
    58631 ÷ 131072     		x = 0.447319030761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88323 ÷ 217
    88323 ÷ 131072     		y = 0.673851013183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447319030761719 × 2 - 1) × π
    -0.105361938476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.33100429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673851013183594 × 2 - 1) × π
    -0.347702026367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.09233813164222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33100429} λ = -0.33100429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09233813164222))-π/2
    2×atan(0.335431293592493)-π/2
    2×0.32363752874968-π/2
    0.647275057499359-1.57079632675     		φ = -0.92352127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33100429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.965149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92352127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.913871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58631 KachelY 88323 -0.33100429 -0.92352127 -18.965149 -52.913871
    Oben rechts KachelX + 1 58632 KachelY 88323 -0.33095635 -0.92352127 -18.962402 -52.913871
    Unten links KachelX 58631 KachelY + 1 88324 -0.33100429 -0.92355018 -18.965149 -52.915527
    Unten rechts KachelX + 1 58632 KachelY + 1 88324 -0.33095635 -0.92355018 -18.962402 -52.915527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92352127--0.92355018) × R
    2.89100000000486e-05 × 6371000     		dl = 184.18561000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92352127--0.92355018) × R
    2.89100000000486e-05 × 6371000     		dr = 184.18561000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33100429--0.33095635) × cos(-0.92352127) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603014878434491 × 6371000     		do = 184.176265476744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33100429--0.33095635) × cos(-0.92355018) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602991815809947 × 6371000     		du = 184.169221557576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92352127)-sin(-0.92355018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603014878434491-0.602991815809947)×R²
    abs(-0.33095635--0.33100429)×2.30626245443233e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30626245443233e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30626245443233e-05×40589641000000     		ar = 33921.9691125727m²